ベクトルの問題

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{3}{4}\vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{2}{3}\vec{b}$ である。

点 P を求める。 P は線分 AD 上にあるので、実数 $u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-u)\vec{a}+u\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(1-u)\vec{a}+\frac{2}{3}u\vec{b}$$
と表せる。また P は線分 BC 上にあるので、実数 $v$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=v\overrightarrow{\mathrm{OC}}+(1-v)\vec{b}=\frac{3}{4}v\vec{a}+(1-v)\vec{b}$$
と表せる。$\vec{a}\ne \vec{0}$, $\vec{b}\ne \vec{0}$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でないから、係数を比較して
$$1-u=\frac{3}{4}v,\frac{2}{3}u=1-v$$
2 つ目の式から $v=1-\frac{2}{3}u$。これを 1 つ目に代入すると
$$1-u=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}u⟹\frac{1}{4}=\frac{1}{2}u⟹u=\frac{1}{2}$$
よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$$

点 Q を求める。 Q は直線 OP 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{k}{2}\vec{a}+\frac{k}{3}\vec{b}$$
と表せる。Q は直線 AB 上にあるので、係数の和が $1$ となる:
$$\frac{k}{2}+\frac{k}{3}=1⟹\frac{5}{6}k=1⟹k=\frac{6}{5}$$
したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}$$
係数はともに正で和が $1$ なので、Q は確かに辺 AB 上にある（AQ:QB $=2:3$）。

よって $(s,t)=\left(\frac{3}{5},\frac{2}{5}\right)$ である。

$\overrightarrow{OC}=\frac{3}{4}\vec{a}$, $\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\vec{b}$ である。

$P$ は線分 $AD$ 上にあるので、$AP:PD=u:(1-u)$ とおくと $\overrightarrow{OP}=(1-u)\vec{a}+\frac{2}{3}u\vec{b}$。

$P$ は線分 $BC$ 上にもあるので、$BP:PC=v:(1-v)$ とおくと $\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}(1-v)\vec{a}+v\vec{b}$。

$\vec{a},\vec{b}$ は一次独立なので係数を比較して
$1-u=\frac{3}{4}(1-v)$, $\frac{2}{3}u=v$。

第2式から $v=\frac{2}{3}u$ を第1式に代入すると $1-u=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}u$。よって $\frac{1}{4}=\frac{1}{2}u$ より $u=\frac{1}{2}$, $v=\frac{1}{3}$。

したがって $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$。

$Q$ は直線 $OP$ 上にあるので $\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}=\frac{k}{2}\vec{a}+\frac{k}{3}\vec{b}$ とおける。$Q$ は $AB$ 上にあるので係数の和が 1 より $\frac{k}{2}+\frac{k}{3}=\frac{5k}{6}=1$。よって $k=\frac{6}{5}$。

$s=\frac{3}{5}$, $t=\frac{2}{5}$。

検算：$s+t=1$、$s:t=3:2=\frac{1}{2}:\frac{1}{3}$ で OP の方向と一致する。

答え：$(s,t)=\left(\frac{3}{5},\frac{2}{5}\right)$