ベクトルの問題

方針 点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{BE}$ 上にも線分 $\mathrm{CD}$ 上にもあるので、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を 2 通りに表し、係数を比べます。

まず $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{2}{3}\vec{c}$ です。

1 通り目（$\mathrm{P}$ は $\mathrm{BE}$ 上） $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=s:(1-s)$ とおくと
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+s\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(1-s)\vec{b}+\frac{2}{3}s\vec{c}(1)$$

2 通り目（$\mathrm{P}$ は $\mathrm{CD}$ 上） $\mathrm{CP}:\mathrm{PD}=t:(1-t)$ とおくと
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AC}}+t\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}t\vec{b}+(1-t)\vec{c}(2)$$

係数を比べる $\vec{b}\ne \vec{0}$、$\vec{c}\ne \vec{0}$ で、$\vec{b}$ と $\vec{c}$ は平行でない（一次独立）ので、$(1)$ と $(2)$ の $\vec{b}$, $\vec{c}$ の係数はそれぞれ等しくなります。
$$1-s=\frac{1}{2}t(3),\frac{2}{3}s=1-t(4)$$
$(3)$ より $t=2-2s$。これを $(4)$ に代入して
$$\frac{2}{3}s=1-(2-2s)=-1+2s$$
$$2s-\frac{2}{3}s=1\text{より}\frac{4}{3}s=1,s=\frac{3}{4}$$
よって $t=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$。

$(1)$ に $s=\frac{3}{4}$ を代入すると
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{4}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$$
（$(2)$ に $t=\frac{1}{2}$ を代入しても同じ式になります。）

したがって $(x,y)=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$。

D は AB の中点なので $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{b}$。E は AC を $2:1$ に内分するので $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\vec{c}$。

P は線分 BE 上にあるので、BP:PE=$s:(1-s)$ とおくと
$\overrightarrow{AP}=(1-s)\vec{b}+s\cdot \frac{2}{3}\vec{c}$。

P は線分 CD 上にあるので、CP:PD=$t:(1-t)$ とおくと
$\overrightarrow{AP}=(1-t)\cdot \frac{1}{2}\vec{b}+t\vec{c}$。

$\vec{b},\vec{c}$ は一次独立なので係数を比較して
$1-s=\frac{1-t}{2}$, $\frac{2}{3}s=t$。

$t=\frac{2}{3}s$ を代入すると $1-s=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}s$。よって $\frac{1}{2}=\frac{2}{3}s$、$s=\frac{3}{4}$、$t=\frac{1}{2}$。

ゆえに $x=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$、$y=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$。

検算：CD 側では $x=\frac{1-t}{2}=\frac{1}{4}$、$y=t=\frac{1}{2}$ となり一致する。また $0<s<1$, $0<t<1$ なので交点は線分上にある。

答え：$(x,y)=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$