ベクトルの問題

点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AD}$ 上にも線分 $\mathrm{BE}$ 上にもあるので、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を $2$ 通りに表して係数を比べます。

手順 1：$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ を表す。
$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+1\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{1+2}=\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$$
$\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{AC}$ の中点なので $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2}\vec{c}$ です。

手順 2：$\mathrm{P}$ が $\mathrm{AD}$ 上にあることから表す。
実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ と書けるので
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{2k}{3}\vec{b}+\frac{k}{3}\vec{c}(1)$$

手順 3：$\mathrm{P}$ が $\mathrm{BE}$ 上にあることから表す。
$\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=m:(1-m)$ とおくと
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-m)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+m\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(1-m)\vec{b}+\frac{m}{2}\vec{c}(2)$$

手順 4：係数を比べる。
$\vec{b}\ne \vec{0}$, $\vec{c}\ne \vec{0}$ で、$\vec{b}$ と $\vec{c}$ は平行でない（一次独立）ので、$(1)$ と $(2)$ の $\vec{b}$, $\vec{c}$ の係数はそれぞれ等しくなります。
$$\frac{2k}{3}=1-m,\frac{k}{3}=\frac{m}{2}$$
2 つ目の式から $m=\frac{2k}{3}$。これを 1 つ目の式に代入すると
$$\frac{2k}{3}=1-\frac{2k}{3}⟹\frac{4k}{3}=1⟹k=\frac{3}{4}$$
このとき $m=\frac{1}{2}$ です。

手順 5：$(1)$ に代入する。
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}\vec{c}=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$$
（$(2)$ に $m=\frac{1}{2}$ を代入しても $\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$ となり一致します。）

よって $(s,t)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ です。

D は BC を 1:2 に内分する点なので、$\overrightarrow{AD}=\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$。E は AC の中点なので、$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\vec{c}$。

P は線分 AD 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AD}=\frac{2k}{3}\vec{b}+\frac{k}{3}\vec{c}$ と表せる。

P は線分 BE 上にあるので、実数 $m$ を用いて $\overrightarrow{AP}=(1-m)\vec{b}+m\cdot \frac{1}{2}\vec{c}$ と表せる。

$\vec{b}$, $\vec{c}$ は一次独立なので係数を比較して、
$\frac{2k}{3}=1-m$、$\frac{k}{3}=\frac{m}{2}$。

第2式より $m=\frac{2k}{3}$。これを第1式に代入すると $\frac{2k}{3}=1-\frac{2k}{3}$ なので $\frac{4k}{3}=1$、よって $k=\frac{3}{4}$、$m=\frac{1}{2}$。

ゆえに $s=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$、$t=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。

検算：$m=\frac{1}{2}$ のとき $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$ となり、一致する。また $0<k<1$、$0<m<1$ なので P は線分 AD 上かつ線分 BE 上にある。