平行四辺形 において、、 とする。辺 を に内分する点を とし、線分 と対角線 の交点を とする。 と表すとき、実数の組 を求めよ。
交点の位置ベクトル
2 通りに表した位置ベクトルの係数を比べて（一次独立を使って）交点の位置ベクトルを求められる
前提
- 位置ベクトルと内分点・外分点 （数学C ベクトル）
この技能までの道筋（26 技能）
読み込み中…
右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
一覧で見る（前提が先）
- 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
- 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
- 三角形の外角と角の組み合わせ （中学数学 平面図形）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
- 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
- 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
- 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
- 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
- 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
- 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）
- 平行四辺形と特別な四角形の性質 （中学数学 平面図形）
- 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
- 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
- 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 乗法公式による展開 （中学数学 数と式）
- 折り返した図形の角と長さ （中学数学 平面図形）
- 三平方の定理と平面図形 （中学数学 相似と三平方の定理）
- ベクトルの演算と成分 （数学C ベクトル）
- 位置ベクトルと内分点・外分点 （数学C ベクトル）
説明
三角形の中で 2 本の線分（直線）が交わるとき、その交点 の位置ベクトルを、基準の 2 つのベクトル を使って の形で求められるようになります。考え方は、交点を「1 本目の直線上の点」と「2 本目の直線上の点」として 2 通りに表し、係数を比べることです。交点が線分をどんな比に分けるかを調べる問題や、3 点が一直線上にあることを示す問題の土台になります。
なぜそうしてよいのか
まず、直線上の点の表し方を確認します。点 が直線 上にあれば、ある実数 を使って と書けます。始点を にそろえると なので となります。 のときは、 の内分点の公式と同じ形です。交点 は 2 本の直線の両方の上にあるので、別々の文字 を使って 2 通りの式で表せます。
次に、係数を比べてよい理由です。 がどちらも でなく、平行でもないとき、この 2 つは「一次独立である」といいます。このとき ならば かつ です。実際、移項すると となります。もし なら となり、 が になるか と平行になって矛盾します。よって で、このとき と から です。
つまり、一次独立な を使うと、平面上のベクトルの「 を何倍、 を何倍」という表し方はただ 1 通りに決まります。だから 2 通りの表し方の係数を等しいとおいて連立方程式を作れば が求まり、交点の位置ベクトルが決まります。
手順
基準を決める：始点 と、 でなく平行でない をとり、問題に出てくる点（内分点など）の位置ベクトルを で表す。
が 1 本目の直線 上にあることから、実数 を使って と表し、 で整理する。
が 2 本目の直線 上にあることから、別の実数 を使って と表し、 で整理する。
が一次独立であることを確かめてから、2 つの式の の係数どうし、 の係数どうしを等しいとおき、 の連立方程式を作る。
連立方程式を解き、（または ）をもとの式に代入して を求める。もう一方の式に代入して同じになるか検算する。
例題
において、 とする。辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とし、線分 と線分 の交点を とする。 と表すとき、実数の組 を求めよ。
例題の解答
【手順1】、 である。 は三角形の 2 辺なので、 でなく平行でもない。
【手順2】 は直線 上にあるので、実数 を用いて
【手順3】 は直線 上にもあるので、別の実数 を用いて
【手順4】 は一次独立なので、係数を比べて
【手順5】2 つ目の式から 。1 つ目に代入して 、すなわち より 。このとき 。手順2の式に を代入すると （検算：手順3の式に を入れると で一致する。） なので は確かに両方の線分上にある。 による表し方はただ 1 通りなので、。
答え:
よくある誤り
2 本の直線に同じ文字 を使ってしまう誤り。例えば例題で とすると、係数比較から と が出て矛盾する。正しくは、 がそれぞれの直線のどこにあるかは別々なので、 と のように異なる文字を使う。
が一次独立かを確かめずに係数を比べてしまう誤り。例えば のとき は成り立つが係数は等しくない。正しくは、 で と が平行でないときに限り係数を比べてよい（三角形の 2 辺のベクトルならこの条件を満たす）。
内分の係数を逆にしてしまう誤り。 のとき とするのは誤り。正しくは で、 から導くと確実である。
途中の点を で表し直さずに係数を比べてしまう誤り。例えば の をそのまま の係数とみなすのは誤り。正しくは を代入して と整理してから比べる。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
平行四辺形 において、, とする。辺 を に内分する点を とし、線分 と対角線 の交点を とする。 と表すとき、実数 , の値をこの順に求めよ。
において、、 とする。辺 の中点を 、辺 を に内分する点を とし、線分 と線分 の交点を とする。 と表すとき、実数 , の組 を求めよ。
AE:EC = 2:1 において、、 とする。辺 を に内分する点を 、辺 の中点を とし、線分 と線分 の交点を とする。（, は実数）と表すとき、, の値を求め、組 の形で答えよ。
台形 において、 が成り立っている。、 とし、対角線 と の交点を とする。 と表すとき、実数 の値を組 の形でこの順に求めよ。
この技能を使う問題
において、、 とする。線分 を に内分する点を 、線分 を に外分する点を とし、直線 と直線 の交点を とする。 を満たす実数 を求め、組 の形で答えよ。
三角形 において、、 とする。辺 を に内分する点を 、辺 を に外分する点を 、辺 の中点を とする。直線 と直線 の交点を とするとき、 を満たす実数 を求め、組 の形で答えよ。
三角形 において、、 とする。辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とし、線分 と線分 の交点を とする。 を満たす実数 の組 を求めよ。
三角形 において、, とする。辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とし、線分 と線分 の交点を とする。（, は実数）と表すとき、, の値をこの順に組 で求めよ。
において、, とする。辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とし、線分 と線分 の交点を とする。さらに、直線 と辺 の交点を とする。 と表すとき、実数の組 を求めよ。
四面体 において、, , とし、
とする。点 から平面 に垂線を下ろし、平面 との交点を とする。さらに、直線 と直線 の交点を とする。
を満たす実数 , の組 を求めよ。図は正確とは限りません において、辺 , , をそれぞれ に内分する点を , , とする。ただし、 は を満たす実数とする。3 本の線分 , , のうち 2 本ずつの交点を頂点とする三角形の面積が、 の面積のちょうど であるとき、 の値を求めよ。
図は正確とは限りません 三角形 において、、、 とする。辺 を に内分する点を 、点 から直線 に下ろした垂線と直線 との交点を とする。線分 と線分 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
において、, とする。辺 を に内分する点を 、線分 を に外分する点を とする。直線 と辺 の交点を とし、線分 と線分 の交点を とする。（ は実数）と表すとき、組 を求めよ。
において、, , とする。線分 を に内分する点を 、線分 を に外分する点を とする。直線 と直線 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
三角形 において、, , とし、, とする。三角形 の垂心を 、内心を とする。直線 と直線 の交点を とするとき、 を満たす実数 を求め、 の形で答えよ。
567四面体 がある。辺 を に内分する点を 、線分 を に外分する点を 、辺 を に内分する点を とする。3 点 を通る平面で四面体 を 2 つの部分に切り分けるとき、頂点 を含む側の部分の体積は、四面体 の体積の何倍か。
この技能の次に学べること
- 空間ベクトルと直線・平面 （数学C ベクトル）