ベクトルの問題

手順 1：直線 $\mathrm{AC}$ 上にあることから表す。

まず $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を $\vec{b},\vec{d}$ で表すと
$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d}$$
点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AC}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k\vec{b}+\frac{k}{2}\vec{d}(1)$$
と表せる。

手順 2：線分 $\mathrm{BD}$ 上にあることから表す。

点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{BD}$ 上にあるので、$\mathrm{BP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$ とおくと、内分点の公式より
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-s)\vec{b}+s\vec{d}(2)$$

手順 3：係数を比べる。

$\vec{b}\ne \vec{0}$、$\vec{d}\ne \vec{0}$ で、$\vec{b}$ と $\vec{d}$ は平行でない（$\vec{b}$ と $\vec{d}$ は一次独立）。したがって、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ の $\vec{b},\vec{d}$ による表し方はただ 1 通りであり、$(1)$ と $(2)$ の係数を比べて
$$k=1-s,\frac{k}{2}=s$$
2 つ目の式を 1 つ目に代入すると $k=1-\frac{k}{2}$、よって $\frac{3}{2}k=1$ より $k=\frac{2}{3}$。このとき $s=\frac{1}{3}$ である。

手順 4：結果を書く。

$(1)$ に $k=\frac{2}{3}$ を代入して
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{d}$$
（$(2)$ に $s=\frac{1}{3}$ を代入しても同じ式になる。）

よって $(x,y)=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$ である。

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d}$。

P は AC 上にあるので、実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{AP}=s\vec{b}+\frac{s}{2}\vec{d}$ と書ける。

P は BD 上にあるので、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{AP}=(1-t)\vec{b}+t\vec{d}$ と書ける。

$\vec{b}$ と $\vec{d}$ は一次独立なので係数を比較して、$s=1-t$ かつ $\frac{s}{2}=t$。

これを解くと $s=1-\frac{s}{2}$ より $s=\frac{2}{3}$、$t=\frac{1}{3}$。

よって $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{d}$ となり、$(x,y)=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$。

検算：AD∥BC で BC:AD=1:2 より、相似から AP:PC=AD:BC=2:1。したがって $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{d}$ となり一致する。