ベクトルの問題

手順 1：点 $\mathrm{E}$ を $\vec{b}$, $\vec{d}$ で表す。

平行四辺形なので $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$ です。$\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分するので $\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{2}{3}\vec{d}$ となり、
$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d}$$

手順 2：$\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AE}$ 上にあることから表す。

$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AE}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AE}}=k\vec{b}+\frac{2}{3}k\vec{d}\cdots (1)$$

手順 3：$\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{BD}$ 上にあることから表す。

$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{BD}$ 上にあるので、$\mathrm{BP}:\mathrm{PD}=m:(1-m)$ とおくと、内分点の公式より
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-m)\vec{b}+m\vec{d}\cdots (2)$$

手順 4：係数を比べる。

$\vec{b}\ne \vec{0}$、$\vec{d}\ne \vec{0}$ で、$\vec{b}$ と $\vec{d}$ は平行でない（一次独立である）ので、$(1)$ と $(2)$ の $\vec{b}$, $\vec{d}$ の係数はそれぞれ等しくなります。
$$k=1-m,\frac{2}{3}k=m$$
2 つ目の式を 1 つ目に代入すると
$$k=1-\frac{2}{3}k⟹\frac{5}{3}k=1⟹k=\frac{3}{5}$$
よって $m=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$ です。

手順 5：答えをまとめる。

$(1)$ に $k=\frac{3}{5}$ を代入して
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{d}$$
したがって $(s,t)=\left(\frac{3}{5},\frac{2}{5}\right)$ です。

（確認：$\mathrm{BE}\parallel \mathrm{AD}$ より $△\mathrm{PBE}\backsim △\mathrm{PDA}$ で、$\mathrm{BP}:\mathrm{PD}=\mathrm{BE}:\mathrm{AD}=2:3$。これは $m=\frac{2}{5}$ と一致します。）

A を原点とし、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$ とする。平行四辺形なので $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{d}$ である。

E は BC を $2:1$ に内分する点（B 側から $2:1$）だから、$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d}$ となる。

P は AE 上の点なので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\vec{b}+\frac{2k}{3}\vec{d}$ と書ける。

P は BD 上の点でもあるので、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\vec{b}+t\vec{d}$ において $s+t=1$ が成り立つ。

よって $k+\frac{2k}{3}=1$ より $\frac{5k}{3}=1$、すなわち $k=\frac{3}{5}$。

ゆえに $s=\frac{3}{5}$、$t=\frac{2}{5}$。

検算：$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{d}$ で係数の和は $1$ なので BD 上にある。また $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d}$ の $\frac{3}{5}$ 倍は $\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{d}$ となり、一致する。