ベクトルの問題

方針：点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AE}$ 上にも線分 $\mathrm{BD}$ 上にもあるので、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を 2 通りに表し、$\vec{b}$, $\vec{d}$ の係数を比べます。

1. $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ を表す

平行四辺形なので $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$ です。$\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分するので $\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{1}{3}\vec{d}$ となり、
$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{d}$$

2. P が AE 上にあることから表す

$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AE}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AE}}=k\vec{b}+\frac{k}{3}\vec{d}\cdots (1)$$

3. P が BD 上にあることから表す

$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{BD}$ 上にあるので、$\mathrm{BP}:\mathrm{PD}=m:(1-m)$ とおくと
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-m)\vec{b}+m\vec{d}\cdots (2)$$

4. 係数を比べる

$\vec{b}\ne \vec{0}$, $\vec{d}\ne \vec{0}$ で、$\vec{b}$ と $\vec{d}$ は平行でない（一次独立である）ので、$(1)$, $(2)$ の $\vec{b}$, $\vec{d}$ の係数はそれぞれ等しくなります。
$$k=1-m,\frac{k}{3}=m$$
2 つ目の式を 1 つ目に代入すると $k=1-\frac{k}{3}$ より $\frac{4}{3}k=1$、よって $k=\frac{3}{4}$、$m=\frac{1}{4}$ です。

5. 答え

$(1)$ に $k=\frac{3}{4}$ を代入して
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{3}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{d}$$
したがって $s=\frac{3}{4}$, $t=\frac{1}{4}$ です。

A を原点とすると B=$\vec{b}$, D=$\vec{d}$, C=$\vec{b}+\vec{d}$。E は BC を 1:2 に内分するので $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{d}$。

P は AE 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AE}}=k\vec{b}+\frac{k}{3}\vec{d}$ と表せる。

P は BD 上にあるので、係数の和が 1 になる。よって $k+\frac{k}{3}=1$ より $\frac{4k}{3}=1$、$k=\frac{3}{4}$。

ゆえに $s=\frac{3}{4}$、$t=\frac{1}{4}$。

検算：BC∥AD より △PBE∽△PDA で、BE:DA=(1/3):1=1:3。よって BP:PD=1:3 となり、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{3}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{d}$。これは先の結果と一致する。