座標平面上に 2 点 , がある。線分 を に外分する点 の座標を求めよ。
位置ベクトルと内分点・外分点
位置ベクトルで内分点・外分点・重心を表せる
前提
- ベクトルの演算と成分 （数学C ベクトル）
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- ベクトルの演算と成分 （数学C ベクトル）
説明
基準点 O を 1 つ決めて、各点をそこから伸びるベクトル（位置ベクトル）で表すと、図形の問題をベクトルの計算として扱えます。この技能では、線分 AB を に内分する点・外分する点、三角形の重心を、もとの点の位置ベクトルで表します。座標が与えられていれば、分点や重心の座標もそのまま計算で求められます。
なぜそうしてよいのか
平面上に基準点 O を決め、点 A に対して を点 A の位置ベクトルといい、 と書きます。ベクトルの差から （終点 − 始点）です。点 P が線分 AB を に内分する（、）とき、P は A から B へ向かって の 倍だけ進んだ点なので となります。A 側の比 が に、B 側の比 が に掛かるのは、P が A に近い（ が小さい）ほど の割合が大きくなるからです。
外分（P が直線 AB 上で線分 AB の外側にあり 、）では、 なら P は B の先にあり なので です。 なら P は A の手前（B と反対側）にあり、 で、A から B と逆向きに進むので となり、整理すると同じ式になります。つまり外分の式は内分の式の を に置きかえたものです。 では分母が 0 になり、外分点は存在しません。
三角形 ABC の重心 G は、中線 AM（M は辺 BC の中点）を に内分する点です。M は BC を に内分するので 。よって です。
手順
基準点 O を決め、関係する点の位置ベクトルを のようにおく（座標が与えられていれば原点を O とし、座標をそのまま成分とする）。
求める点が内分点・外分点・重心のどれかを確認し、比を「A 側 : B 側」、つまり として読み取る。
内分なら 、外分なら （）、重心なら に当てはめる。
成分が与えられていれば、実数倍と和の計算で成分（座標）を求め、必要なら を確かめる。
例題
座標平面上に 2 点 , がある。線分 AB を に外分する点 P の座標を求めよ。
例題の解答
手順1：原点 O を基準にし、, とする。
手順2：外分で、 なので 。 なので外分点は存在する。
手順3：外分の式に当てはめて
手順4： なので 。
確認：, より 。よって で、P は B の先（線分 AB の外側）にある。
したがって P の座標は 。
答え:
よくある誤り
内分の係数を逆にして としてしまう誤り。正しくは で、A 側の比 は に掛かる（例：AB を に内分する点は ）。
外分で符号を付け忘れ、 や としてしまう誤り。正しくは分子・分母とも を に置きかえて （例： に外分する点は ）。
を としてしまう誤り。正しくは「終点 − 始点」で 。
重心を のように 3 以外で割ってしまう誤り。正しくは 3 点の位置ベクトルの平均で 。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
点 P は図にかいていない 座標平面上に 点 , がある。原点 に関する位置ベクトルを用いて、線分 を に外分する点 の座標を求めよ。
平行四辺形 において、、 とする。辺 を に内分する点を とし、線分 と対角線 の交点を とする。 と表すとき、実数の組 を求めよ。
平行四辺形 において、, とする。辺 を に内分する点を とし、線分 と対角線 の交点を とする。 と表すとき、実数 , の値をこの順に求めよ。
この技能を使う問題
において、、 とする。線分 を に内分する点を 、線分 を に外分する点を とし、直線 と直線 の交点を とする。 を満たす実数 を求め、組 の形で答えよ。
三角形 において、、 とする。辺 を に内分する点を 、辺 を に外分する点を 、辺 の中点を とする。直線 と直線 の交点を とするとき、 を満たす実数 を求め、組 の形で答えよ。
三角形 において、、 とする。辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とし、線分 と線分 の交点を とする。 を満たす実数 の組 を求めよ。
三角形 において、, とする。辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とし、線分 と線分 の交点を とする。（, は実数）と表すとき、, の値をこの順に組 で求めよ。
において、, とする。辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とし、線分 と線分 の交点を とする。さらに、直線 と辺 の交点を とする。 と表すとき、実数の組 を求めよ。
において、辺 , , をそれぞれ に内分する点を , , とする。ただし、 は を満たす実数とする。3 本の線分 , , のうち 2 本ずつの交点を頂点とする三角形の面積が、 の面積のちょうど であるとき、 の値を求めよ。
図は正確とは限りません 三角形 において、、、 とする。辺 を に内分する点を 、点 から直線 に下ろした垂線と直線 との交点を とする。線分 と線分 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
において、, とする。辺 を に内分する点を 、線分 を に外分する点を とする。直線 と辺 の交点を とし、線分 と線分 の交点を とする。（ は実数）と表すとき、組 を求めよ。
において、, , とする。線分 を に内分する点を 、線分 を に外分する点を とする。直線 と直線 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
三角形 において、, , とし、, とする。三角形 の垂心を 、内心を とする。直線 と直線 の交点を とするとき、 を満たす実数 を求め、 の形で答えよ。
567四面体 の体積を とする。辺 の中点を 、線分 を に外分する点を 、線分 を に外分する点を とする。3 点 , , を通る平面で四面体 を 2 つの立体に切り分けるとき、頂点 を含む方の立体の体積は の何倍か。
四面体 において、辺 を に内分する点を 、辺 の中点を 、 の重心を とする。3 点 , , を通る平面を とする。四面体 は平面 によって 2 つの立体に分けられる。このうち頂点 を含む方の立体の体積は、四面体 の体積の何倍か。
四面体 がある。辺 を に内分する点を 、線分 を に外分する点を 、辺 を に内分する点を とする。3 点 を通る平面で四面体 を 2 つの部分に切り分けるとき、頂点 を含む側の部分の体積は、四面体 の体積の何倍か。
この技能の次に学べること
- 交点の位置ベクトル （数学C ベクトル）
- ベクトルの等式で表された点の位置と面積比 （数学C ベクトル）
- 垂線の足の位置ベクトル （数学C ベクトル）