ベクトルの問題

内積の計算

$|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=6$, $|\vec{b}-\vec{a}|=7$ より
$$49=|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{a}{|}^2=36-2\vec{a}\cdot \vec{b}+25$$
なので $\vec{a}\cdot \vec{b}=6$ である。

垂心 $\mathrm{H}$

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=x\vec{a}+y\vec{b}$ とおく。$\mathrm{AH}\perp \mathrm{OB}$ より $(\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\vec{a})\cdot \vec{b}=0$ であるから
$$6x+36y-6=0\text{すなわち}x+6y=1(1)$$
$\mathrm{BH}\perp \mathrm{OA}$ より $(\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\vec{b})\cdot \vec{a}=0$ であるから
$$25x+6y-6=0(2)$$
$(1)$ より $6y=1-x$ を $(2)$ に代入すると $25x+1-x-6=0$、よって $x=\frac{5}{24}$、$6y=\frac{19}{24}$ より $y=\frac{19}{144}$。したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{30\vec{a}+19\vec{b}}{144}$$
（確認: $\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot (\vec{b}-\vec{a})=\frac{5}{24}(6-25)+\frac{19}{144}(36-6)=-\frac{95}{24}+\frac{95}{24}=0$ となり、$\mathrm{OH}\perp \mathrm{AB}$ も成り立つ。）

内心 $\mathrm{I}$

$\angle \mathrm{AOB}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{D}$ とすると、$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=5:6$ より
$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{6\vec{a}+5\vec{b}}{11},\mathrm{AD}=7\cdot \frac{5}{11}=\frac{35}{11}$$
$\mathrm{AI}$ は $\angle \mathrm{OAD}$ の二等分線なので $\mathrm{OI}:\mathrm{ID}=\mathrm{AO}:\mathrm{AD}=5:\frac{35}{11}=11:7$。よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{11}{18}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{6\vec{a}+5\vec{b}}{18}=\frac{48\vec{a}+40\vec{b}}{144}$$

交点 $\mathrm{X}$

$\mathrm{X}$ は直線 $\mathrm{HI}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}+k(\overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{OH}})=\frac{(30+18k)\vec{a}+(19+21k)\vec{b}}{144}$$
と表せる。$\mathrm{X}$ は直線 $\mathrm{AB}$ 上にあり、$\vec{a},\vec{b}$ は 1 次独立なので、係数の和が $1$ である:
$$\frac{(30+18k)+(19+21k)}{144}=1⟺49+39k=144⟺k=\frac{95}{39}$$
このとき
$$30+18k=30+\frac{570}{13}=\frac{960}{13},19+21k=19+\frac{665}{13}=\frac{912}{13}$$
であるから
$$s=\frac{960}{13\cdot 144}=\frac{20}{39},t=\frac{912}{13\cdot 144}=\frac{19}{39}$$

よって $(s,t)=\left(\frac{20}{39},\frac{19}{39}\right)$ である（$\mathrm{X}$ は辺 $\mathrm{AB}$ を $19:20$ に内分する点）。

$|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=6,|\vec{a}-\vec{b}|=7$ より $49=25+36-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ なので $\vec{a}\cdot \vec{b}=6$。

垂心 $\mathrm{H}$: $\overrightarrow{OH}=p\vec{a}+q\vec{b}$ とおく。$\mathrm{OH}\perp \mathrm{AB}$ と $\mathrm{AH}\perp \mathrm{OB}$ から $\overrightarrow{OH}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b}=6$, $\overrightarrow{OH}\cdot \vec{a}=\vec{a}\cdot \vec{b}=6$。
これより $6p+36q=6$ すなわち $p+6q=1$、また $25p+6q=6$。解くと $144q=19$, $q=\frac{19}{144}$, $p=\frac{30}{144}$。よって $\overrightarrow{OH}=\frac{30\vec{a}+19\vec{b}}{144}$。

内心 $\mathrm{I}$: O, A, B の対辺の長さはそれぞれ $7,6,5$ なので $\overrightarrow{OI}=\frac{6\vec{a}+5\vec{b}}{18}=\frac{48\vec{a}+40\vec{b}}{144}$。

直線 HI 上の点は $\overrightarrow{OH}+\lambda (\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{OH})$ と表せる。ここで $\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{OH}=\frac{18\vec{a}+21\vec{b}}{144}$。
直線 AB 上にあるには係数の和が 1 であればよい。$\frac{49}{144}+\lambda \cdot \frac{39}{144}=1$ より $\lambda =\frac{95}{39}$。

$s=\frac{1}{144}\left(30+\frac{95\cdot 18}{39}\right)=\frac{1}{144}\cdot \frac{960}{13}=\frac{20}{39}$,
$t=\frac{1}{144}\left(19+\frac{95\cdot 21}{39}\right)=\frac{1}{144}\cdot \frac{912}{13}=\frac{19}{39}$。

検算: $s+t=1$ で X は AB 上にある。