ベクトルの問題

$\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\vec{p}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ とおく。

三角形 ABC の面積
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{b}{|}^2|\vec{c}{|}^2-(\vec{b}\cdot \vec{c}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{25\cdot 16-10^2}=\frac{1}{2}\sqrt{300}=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$

点 P の位置
$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=-\vec{p}$, $\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\vec{b}-\vec{p}$, $\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\vec{c}-\vec{p}$ を条件式に代入すると
$$-3\vec{p}+2(\vec{b}-\vec{p})+(\vec{c}-\vec{p})=\vec{0}$$
$$6\vec{p}=2\vec{b}+\vec{c}\text{より}\vec{p}=\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{6}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$$
ここで $\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}=\frac{2\vec{b}+1\cdot \vec{c}}{1+2}$ は、辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点 $\mathrm{D}$ の位置ベクトルである。したがって $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ であり、$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AD}$ の中点である。

三角形 PBC の面積
三角形 $\mathrm{PBC}$ と三角形 $\mathrm{ABC}$ は底辺 $\mathrm{BC}$ を共有し、高さの比は $\mathrm{PD}:\mathrm{AD}=1:2$ である。よって
$$△\mathrm{PBC}=\frac{1}{2}△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=5\cdot 4\cos A=10$ より $\cos A=\frac{1}{2}$、よって $A=60^{\circ }$ で $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積は $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$。

$3\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\vec{0}$ を A を始点として書くと、$-3\vec{p}+2(\vec{b}-\vec{p})+(\vec{c}-\vec{p})=\vec{0}$ より $\vec{p}=\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{6}$（ただし $\vec{p}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$）。
つまり $\mathrm{P}$ は重み $(3,2,1)$ の重心（内部の点）で、$△\mathrm{PBC}:△\mathrm{ABC}=3:(3+2+1)=1:2$。

検算：$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{6}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ なので、$\mathrm{AP}$ と辺 BC の関係から、BC 上の点 $\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$ を D とすると $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$。P から BC までの距離は A から BC までの距離の $\frac{1}{2}$ となり、面積は $\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ で一致する。

よって求める面積は $\frac{5\sqrt{3}}{2}$。