の面積は である。点 が
を満たすとき、 の面積を求めよ。
ベクトルの等式で表された点の位置と面積比
のような等式を始点 A にそろえて を内分点の形で表し、点 P の位置と などの面積比を求められる
前提
- 位置ベクトルと内分点・外分点 （数学C ベクトル）
- 辺の比と三角形の面積比 （数学A 図形の性質）
この技能までの道筋（34 技能）
読み込み中…
右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
一覧で見る（前提が先）
- 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
- 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
- 三角形の外角と角の組み合わせ （中学数学 平面図形）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
- 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
- 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
- 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
- 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
- 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
- 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）
- 平行四辺形と特別な四角形の性質 （中学数学 平面図形）
- 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
- 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
- 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 乗法公式による展開 （中学数学 数と式）
- 折り返した図形の角と長さ （中学数学 平面図形）
- 三平方の定理と平面図形 （中学数学 相似と三平方の定理）
- ベクトルの演算と成分 （数学C ベクトル）
- 位置ベクトルと内分点・外分点 （数学C ベクトル）
- 特別な直角三角形の辺の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 比の性質と簡単な比 （算数 割合と比）
- 相似な三角形と長さの比 （算数 平面図形）
- 三角形の相似条件と対応する辺の長さ （中学数学 相似と三平方の定理）
- 三角比の定義と値 （数学I 図形と計量）
- 正弦定理・余弦定理と三角形の面積 （数学I 図形と計量）
- 辺の比と三角形の面積比 （数学A 図形の性質）
説明
（ は正の数）のような等式で決まる点 P が、三角形 ABC のどこにあるかを調べる技能です。始点を A にそろえて を内分点の形に直すと、P が「辺 BC 上の点 D と A を結ぶ線分上のどこにあるか」がわかります。さらに辺の比から、 などの面積比も求められます。
なぜそうしてよいのか
等式のままでは始点がすべて P なので、P の位置が読み取れません。そこで、差の形 を使って始点を A にそろえます。, , を代入すると となり、 なので と表せます。
このままでは分子の係数の和 と分母 がずれているので、内分点の公式の形に合いません。そこで と変形します。後ろの は、辺 BC を に内分する点 D の位置ベクトル です（係数は「遠い方の点」に付くので、B の係数 は DC の長さ側に対応します）。よって となり、P は線分 AD を に内分する点です。 がすべて正なら P は三角形の内部にあります。
面積比は、高さが共通な三角形の面積比 = 底辺の比 から出ます。 とすると、、、同様に 。したがって となり、各三角形は「その三角形に含まれない頂点の係数」に比例します。
手順
始点を A にそろえる：, , を等式に代入する。
について解く： の形にする。
内分点の形に変形する：分子の係数の和 で割って掛け、 とし、後ろを とおく。
位置を読み取る：D は辺 BC を に内分する点（）、P は線分 AD を に内分する点。
面積比を求める： として、底辺の比を使い , , をそれぞれ で表して比をとる。
例題
と点 P が を満たすとき、 を最も簡単な整数の比で求めよ。
例題の解答
【手順1】始点を A にそろえると 、整理して 。
【手順2】。
【手順3】分子の係数の和は なので 。 とおくと 。
【手順4】D は辺 BC を に内分する点（）、P は線分 AD を に内分する点。
【手順5】 とする。
。
。
。
よって 。（3 つの和が となり、確かめもできる。）
答え:
よくある誤り
と引く順を逆にしてしまう誤り。正しくは「終点 − 始点」で 。
を「BC を に内分する点」としてしまう誤り。正しくは B の係数が DC 側、C の係数が BD 側に対応するので 。
のまま P を辺 BC 上の点と考えてしまう誤り。分子の係数の和 と分母 が違うので、正しくは と直し、P は線分 AD の内分点（）。
から のように対応を取り違える誤り。正しくは各三角形が「含まない頂点の係数」に比例し、 は A の係数 に対応して 。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
斜線部分が （図は正確とは限りません） の面積は である。点 が
を満たすとき、 の面積を求めよ。P図は正確とは限りません の面積は である。点 が
を満たすとき、 の面積を求めよ。色をつけた部分が