の面積は である。辺 上に点 を , となるようにとる。辺 上に点 を , となるようにとる。 の面積を求めよ。
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辺の比と三角形の面積比
高さが共通な三角形の面積比を底辺の比で、角が共通な三角形の面積比を で求め、もとの三角形の面積から部分の三角形の面積を求められる
前提
- 正弦定理・余弦定理と三角形の面積 （数学I 図形と計量）
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- 三角形の相似条件と対応する辺の長さ （中学数学 相似と三平方の定理）
- 三角比の定義と値 （数学I 図形と計量）
- 正弦定理・余弦定理と三角形の面積 （数学I 図形と計量）
説明
三角形の中に点をとってできる小さな三角形の面積を、長さや角を直接求めずに、辺の比だけで求める技能です。高さが等しい三角形どうしなら、面積比は底辺の比になります。1つの角を共有する三角形どうしなら、面積比はその角をはさむ2辺の積の比になります。もとの三角形の面積がわかっていれば、それに比を掛けるだけで部分の三角形の面積が求まります。
なぜそうしてよいのか
三角形の面積は です。2つの三角形の底辺が同じ直線 上にあり、残りの頂点から までの距離（高さ）が等しければ、面積比は底辺の比そのものになります。高さが等しくなるのは、残りの頂点が共通のときか、2つの頂点が に平行な同じ直線上にあるときです。たとえば の辺 上に点 があれば、 と は頂点 が共通で、底辺 , がともに直線 上にあります。したがって です。
角が共通な場合は、前提の技能の面積公式 を使います。 の辺 上に点 、辺 上に点 をとると、 と はどちらも角 をもつので
です。 より なので割り算ができ、 と が約分されて
となります。角 の大きさを知らなくても、比だけで面積比がわかるのがこの方法の強みです。
なお が辺の延長上にあっても、 は か です。 なので、同じ式が成り立ちます。
手順
求めたい三角形ともとの三角形を見比べ、どちらの型かを判断する。「高さが等しい（底辺が同じ直線上にあり、残りの頂点が共通など）」型か、「1つの角が共通」型かを見る。
高さが等しいなら、面積比を底辺の比として書く。例:
角が共通なら、その角をはさむ2辺について、それぞれ全体に対する割合を求める。例: なら
割合を掛けて面積比を出す:
もとの三角形の面積に面積比を掛けて、部分の三角形の面積を求める。
例題
面積が の において、辺 上に となる点 、辺 上に となる点 をとる。 の面積を求めよ。
例題の解答
手順1: と は角 を共有しているので、角が共通な場合の式を使う。
手順3: より 。 より 。
手順4: 。
手順5: 。
答え:
よくある誤り
辺の比 をそのまま のように使ってしまう誤り。正しくは全体 に対する割合で、。
2つの割合を足してしまう誤り（例: ）。正しくは掛けて、。
相似でないのに相似比の2乗を使ってしまう誤り（例: だから面積比を とする）。 でなければ相似とは限らないので、正しくは で計算する。
高さが等しくない三角形どうしで、底辺の比を面積比としてしまう誤り。例: で辺 上に となる点 、辺 の中点 をとる。このとき とするのは誤り。底辺はともに直線 上にあるが、頂点 と では直線 からの高さが違う（ の高さは の半分）からである。正しくは、高さも比べるか、それぞれを （面積 ）と比べる。 である。 は角 が共通なので、 となる。よって面積比は である。底辺の比がそのまま面積比になるのは、底辺が同じ直線上にあり、残りの頂点からその直線までの距離が等しいときである（頂点が共通、または2つの頂点が底辺の直線に平行な同じ直線上にあるとき）。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
の面積は の面積は である。辺 上に点 を となるようにとる。辺 上に点 を となるようにとる。 の面積を求めよ。
辺に書いた数は長さの比を表す の面積は である。辺 上に点 を となるようにとり、辺 上に点 を となるようにとる。 の面積を求めよ。
図は正確とは限りません
この技能を使う問題
において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を とする。辺 上に となる点 をとり、線分 と線分 の交点を とする。 の面積を求めよ。
において、, とする。 の二等分線と辺 の交点を 、辺 の中点を 、辺 を に内分する点を とする（）。
線分 と線分 の交点を 、線分 と線分 の交点を 、線分 と線分 の交点を とする。 の面積は の面積の何倍か。
において、辺 , , をそれぞれ に内分する点を , , とする。ただし、 は を満たす実数とする。3 本の線分 , , のうち 2 本ずつの交点を頂点とする三角形の面積が、 の面積のちょうど であるとき、 の値を求めよ。
図は正確とは限りません 三角形 において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を 、 の二等分線と辺 の交点を とする。さらに、直線 と直線 の交点を とする。三角形 の面積を求めよ。
図の縮尺は正確ではありません 円に内接する四角形 において、, , である。対角線 と の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
において、, とします。次の 本の線分を考えます。
- の二等分線と辺 の交点を とした線分
- 辺 の中点を とした線分
- 点 から辺 に下ろした垂線の足を とした線分
この 本が 点 で交わるとき、 の面積を求めよ。
において、, とする（辺 の長さは与えられていない）。 の二等分線と辺 の交点を 、辺 の中点を 、頂点 から直線 に下ろした垂線の足を とする。3 直線 , , が 1 点 で交わるとき、 の面積を求めよ。
1 辺の長さが の正四面体 がある。点 を
で定める。3 点 , , はそれぞれ線分 , , 上の点で、いずれも とは異なる（, , と一致してもよい）。さらに、点 は平面 上にある。このとき、四面体 の体積の最小値を求めよ。P, Q, R の位置の一例
この技能の次に学べること
- ベクトルの等式で表された点の位置と面積比 （数学C ベクトル）