図形の性質の問題

1. 点 D, E の位置

$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線なので、角の二等分線の性質より
$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:6=4:3$$
です。$\mathrm{BC}=7$ より $\mathrm{BD}=4$, $\mathrm{DC}=3$ となります。

$\mathrm{BE}$ は $\angle \mathrm{B}$ の二等分線なので
$$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=\mathrm{BC}:\mathrm{BA}=7:8$$
です。$\mathrm{CA}=6$ より $\mathrm{EA}=6\cdot \frac{8}{15}=\frac{16}{5}$, $\mathrm{CE}=\frac{14}{5}$ となります。

2. 点 F の位置（メネラウスの定理）

三角形 $\mathrm{ABC}$ と直線 $\mathrm{DEF}$ にメネラウスの定理を用いると
$$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$$
です。値を代入すると
$$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{7}{8}=1\text{より}\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{6}{7}$$
となります。

直線 $\mathrm{DE}$ は辺 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ の内部を通るので、直線 $\mathrm{AB}$ とは辺 $\mathrm{AB}$ の延長上で交わります。$\mathrm{AF}<\mathrm{FB}$ なので、$\mathrm{F}$ は $\mathrm{A}$ の側の延長上（$\mathrm{B}$ から見て $\mathrm{A}$ の先）にあります。

$\mathrm{AF}=6k$, $\mathrm{FB}=7k$ とおくと、$\mathrm{FB}-\mathrm{AF}=\mathrm{AB}$ より $k=8$ です。よって $\mathrm{AF}=48$ となります。

3. $\sin A$ の値

余弦定理より
$$\cos A=\frac{8^2+6^2-7^2}{2\cdot 8\cdot 6}=\frac{51}{96}=\frac{17}{32}$$
です。$\sin A>0$ なので
$$\sin A=\sqrt{1-\frac{289}{1024}}=\frac{\sqrt{735}}{32}=\frac{7\sqrt{15}}{32}$$
となります。

4. 三角形 AEF の面積

$\mathrm{F}$ は $\mathrm{BA}$ の $\mathrm{A}$ 側の延長上、$\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{AC}$ 上にあります。したがって $\angle \mathrm{FAE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{BAC}$ であり、
$$\sin \angle \mathrm{FAE}=\sin A=\frac{7\sqrt{15}}{32}$$
です。よって
$$△\mathrm{AEF}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AF}\cdot \mathrm{AE}\cdot \sin \angle \mathrm{FAE}=\frac{1}{2}\cdot 48\cdot \frac{16}{5}\cdot \frac{7\sqrt{15}}{32}=\frac{84\sqrt{15}}{5}$$
となります。

（検算：$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{7\sqrt{15}}{32}=\frac{21\sqrt{15}}{4}$ であり、$\frac{△\mathrm{AEF}}{△\mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AF}\cdot \mathrm{AE}}{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}=\frac{48\cdot \frac{16}{5}}{48}=\frac{16}{5}$ です。$\frac{21\sqrt{15}}{4}\cdot \frac{16}{5}=\frac{84\sqrt{15}}{5}$ となり、一致します。）

答え：$\frac{84\sqrt{15}}{5}$

角の二等分線の定理より、$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:6=4:3$、$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=\mathrm{BC}:\mathrm{BA}=7:8$。したがって $\mathrm{EA}=6\cdot \frac{8}{15}=\frac{16}{5}$。

三角形 ABC と直線 DEF にメネラウスの定理を用いると、$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$。よって $\frac{4}{3}\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$ より $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=6:7$。D, E はともに辺の内部にあるので F は辺 AB の外側にあり、AF<FB なので F は A の側の延長上にある。$\mathrm{FB}=\mathrm{AF}+8$ から $7\mathrm{AF}=6(\mathrm{AF}+8)$、すなわち $\mathrm{AF}=48$。

三角形 ABC の面積はヘロンの公式で、$s=\frac{21}{2}$ より $\sqrt{\frac{21}{2}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{5}{2}}=\frac{21\sqrt{15}}{4}$。

$\angle \mathrm{FAE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{A}$ なので $\sin$ は等しく、
$△\mathrm{AEF}=\frac{\mathrm{AF}\cdot \mathrm{AE}}{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}△\mathrm{ABC}=\frac{48\cdot \frac{16}{5}}{48}\cdot \frac{21\sqrt{15}}{4}=\frac{16}{5}\cdot \frac{21\sqrt{15}}{4}=\frac{84\sqrt{15}}{5}$。

検算：面積比 $\frac{48\cdot 3.2}{8\cdot 6}=3.2=\frac{16}{5}$ で一致する。