図形の性質の問題

$\mathrm{D}$ の位置 角の二等分線の性質より
$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=6:4=3:2$$
である。$\mathrm{BC}=5$ なので $\mathrm{BD}=3$, $\mathrm{DC}=2$ となる。

$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$ の比 $△\mathrm{ABD}$ と、3 点 $\mathrm{E},\mathrm{P},\mathrm{C}$ を通る直線にメネラウスの定理を用いる。
$$\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}\cdot \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}\cdot \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PA}}=1$$
$\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}=\frac{1}{2}$, $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}=\frac{5}{2}$ を代入すると
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PA}}=1$$
となる。よって $\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PA}}=\frac{4}{5}$、すなわち $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=5:4$ であり、$\mathrm{PD}:\mathrm{AD}=4:9$ である。

$△\mathrm{ABC}$ の面積 余弦定理より
$$\cos A=\frac{6^2+4^2-5^2}{2\cdot 6\cdot 4}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$$
である。$\sin A>0$ なので
$$\sin A=\sqrt{1-\frac{81}{256}}=\frac{\sqrt{175}}{16}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$$
となる。したがって
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{5\sqrt{7}}{16}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$$
である。

$△\mathrm{PBC}$ の面積 $△\mathrm{PBC}$ と $△\mathrm{ABC}$ は底辺 $\mathrm{BC}$ を共有する。$\mathrm{P},\mathrm{A}$ から直線 $\mathrm{BC}$ までの距離の比は、$\mathrm{D}$ が直線 $\mathrm{BC}$ 上にあることから $\mathrm{PD}:\mathrm{AD}=4:9$ に等しい。よって
$$△\mathrm{PBC}=\frac{4}{9}\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}=\frac{5\sqrt{7}}{3}$$
である。

ヘロンの公式より、$s=\frac{6+5+4}{2}=\frac{15}{2}$ なので $△ABC=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{2}}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$。

角の二等分線の性質より $BD:DC=AB:AC=6:4=3:2$。よって $\overrightarrow{AD}=\frac{2\vec{b}+3\vec{c}}{5}$（$\vec{b}=\overrightarrow{AB},\vec{c}=\overrightarrow{AC}$）。また $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\vec{b}$。

$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AD}=\frac{2t}{5}\vec{b}+\frac{3t}{5}\vec{c}$ とおく。P は CE 上にあるので $\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AE}+(1-s)\vec{c}=\frac{s}{3}\vec{b}+(1-s)\vec{c}$。
係数を比較して $\frac{2t}{5}=\frac{s}{3}$, $\frac{3t}{5}=1-s$。第1式から $s=\frac{6t}{5}$、これを第2式に代入して $\frac{9t}{5}=1$、$t=\frac{5}{9}$。

よって $AP:PD=5:4$。$△PBC:△ABC=PD:AD=4:9$ なので、
$△PBC=\frac{4}{9}\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}=\frac{5\sqrt{7}}{3}$。

検算：メネラウスの定理を △ABD と直線 CE で用いると $\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BC}{CD}\cdot \frac{DP}{PA}=1$。$\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{DP}{PA}=1$ より $DP/PA=4/5$ となり、一致する。