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図形の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 図形の性質

$△ ABC$ において、 $AB = 9$ , $BC = 6$ , $CA = 10$ とする。 $∠ B$ の二等分線と辺 $CA$ の交点を $D$ とするとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。

A

B

C

D

9

6

10

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

角の二等分線が向かい合う辺を、角をはさむ 2 辺の比に内分するという性質を使います。ここでは $∠ B$ の二等分線なので、角 $B$ をはさむ 2 辺に注目しましょう。

ヒント 2

$AD : DC = BA : BC$ が成り立ちます。

ヒント 3

$AD : DC = 9 : 6 = 3 : 2$ なので、 $AD$ は $CA = 10$ の $\frac{3}{5}$ にあたります。

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6

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解説を読む

角の二等分線と辺の比を使います。

$△ ABC$ で $∠ B$ の二等分線が向かい合う辺 $CA$ と交わる点が $D$ です。このとき、点 $D$ は辺 $CA$ を、角 $B$ をはさむ 2 辺の比 $BA : BC$ に内分します。

$AD : DC = BA : BC = 9 : 6 = 3 : 2$

したがって $AD$ は $CA$ 全体の $\frac{3}{3 + 2}$ にあたります。 $CA = 10$ なので

$AD = 10 \times \frac{3}{3 + 2} = 10 \times \frac{3}{5} = 6$

（このとき $DC = 10 - 6 = 4$ で、 $6 : 4 = 3 : 2$ となり確かに比が合っています。）

よって $AD = 6$ です。

別解

角の二等分線の性質より、AD:DC = BA:BC = 9:6 = 3:2 である。CA = 10 なので、AD = 10 × 3/(3+2) = 6。
検算：DC = 4 で、AD:DC = 6:4 = 3:2 となり、BA:BC = 9:6 = 3:2 と一致する。