図形の性質の問題

外心 $\mathrm{O}$ は $△\mathrm{ABC}$ の外接円の中心なので、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ です。

手順1：$\angle \mathrm{BOC}$ を求める。
$\angle \mathrm{BAC}$ は、外接円の弧 $\mathrm{BC}$ に対する円周角です。$\angle \mathrm{BAC}=30^{\circ }$ は鋭角なので、$\mathrm{A}$ は弧 $\mathrm{BC}$ の長い側（優弧）の上にあります。$\angle \mathrm{BOC}$ はその円周角と同じ弧 $\mathrm{BC}$（劣弧）に対する中心角です。中心角は円周角の $2$ 倍なので
$$\angle \mathrm{BOC}=2\angle \mathrm{BAC}=2\times 30^{\circ }=60^{\circ }$$

手順2：$△\mathrm{OBC}$ の形を調べる。
$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ なので、$△\mathrm{OBC}$ は二等辺三角形です。底角は等しいので
$$\angle \mathrm{OBC}=\angle \mathrm{OCB}=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$
となります。3つの角がすべて $60^{\circ }$ なので、$△\mathrm{OBC}$ は正三角形です。よって
$$\mathrm{OB}=\mathrm{BC}=6$$

手順3：$\mathrm{OA}$ を求める。
$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ より
$$\mathrm{OA}=6$$

（参考：正弦定理で外接円の半径 $R$ を求めても、$2R=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=12$ より $R=6$ となり、同じ結果になります。）

正弦定理より $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{BAC}}=2R$ （$R$ は外接円の半径）。よって $2R=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{1/2}=12$ なので $R=6$。外心 O は外接円の中心であるから $\mathrm{OA}=R=6$。
検算：外接円の半径 6 の円で弦 BC に対する中心角は $2\times 30^{\circ }=60^{\circ }$ なので、△OBC は OB=OC=6 で頂角 $60^{\circ }$ の正三角形となり BC=6 と一致する。