図形の性質の問題

中線 $\mathrm{AM}$ の長さを求める。

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ の二等辺三角形では、頂点 $\mathrm{A}$ と底辺の中点 $\mathrm{M}$ を結ぶ線分は底辺に垂直なので、$\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$ である。

また、$\mathrm{BM}=\frac{12}{2}=6$ である。

直角三角形 $\mathrm{ABM}$ で三平方の定理を使うと
$$\mathrm{AM}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BM}}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$$

重心の性質を使う。

$\mathrm{AM}$ は頂点 $\mathrm{A}$ から引いた中線なので、重心 $\mathrm{G}$ は $\mathrm{AM}$ 上にある。重心は中線を頂点の側から $2:1$ に内分するので、$\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$ である。よって
$$\mathrm{AG}=\frac{2}{2+1}\mathrm{AM}=\frac{2}{3}\times 8=\frac{16}{3}$$

したがって、$\mathrm{AG}=\frac{16}{3}$ である。

AB=AC なので、中線 AM は BC に垂直である。BM=6 より、AM=$\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。重心 G は中線 AM を 2:1 に内分するので、AG=$\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}$。検算：座標で M=(0,0)、B=(-6,0)、C=(6,0)、A=(0,8) とおくと、重心は G=(0,8/3)。AG=8−8/3=16/3 となり一致する。