図形の性質の問題

直線 $\mathrm{FED}$ が $△\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$、辺 $\mathrm{CA}$、辺 $\mathrm{BC}$ の延長と交わっているので、メネラウスの定理が使えます。

頂点 $\mathrm{A}$ から出発して、$\mathrm{A}\to \mathrm{F}\to \mathrm{B}\to \mathrm{D}\to \mathrm{C}\to \mathrm{E}\to \mathrm{A}$ と、頂点と交点を交互にたどると
$$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$$
が成り立ちます。

条件より $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=3:2$ なので $\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{3}{2}$、$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=3:1$ なので $\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{1}{3}$ です（向きに注意して $\mathrm{C}$ から $\mathrm{A}$ の順に読みます）。これらを代入すると
$$\frac{3}{2}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{1}{3}=1$$
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=1$$
よって $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=2$、すなわち $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$ です。

$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の $\mathrm{C}$ の側への延長上にあるので $\mathrm{BD}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=5+\mathrm{CD}$ です。$\mathrm{BD}=2\mathrm{CD}$ より
$$5+\mathrm{CD}=2\mathrm{CD}$$
したがって $\mathrm{CD}=5$ です。

メネラウスの定理を三角形 $\mathrm{ABC}$ と直線 $\mathrm{FED}$ に適用する。

$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$

$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=3:2$、$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=3:1$ なので $\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{1}{3}$ である。よって

$\frac{3}{2}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{1}{3}=1$

これより $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$ となる。

$\mathrm{D}$ は $\mathrm{C}$ の側の延長上にあるので $\mathrm{BD}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=5+\mathrm{CD}$ である。$\mathrm{BD}=2\mathrm{CD}$ より $5+\mathrm{CD}=2\mathrm{CD}$、すなわち $\mathrm{CD}=5$。

検算（ベクトル）：$\vec{F}=\frac{2}{5}\vec{A}+\frac{3}{5}\vec{B}$、$\vec{E}=\frac{1}{4}\vec{A}+\frac{3}{4}\vec{C}$。$\vec{D}=s\vec{F}+(1-s)\vec{E}$ とおき、$\vec{A}$ の係数を 0 にすると $s=-\frac{5}{3}$。このとき $\vec{D}=-\vec{B}+2\vec{C}$ となり、$\overrightarrow{CD}=\vec{C}-\vec{B}$ なので $\mathrm{CD}=\mathrm{BC}=5$ で一致する。