図形の性質の問題

直線 $\mathrm{DEF}$ は、$△\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$ と点 $\mathrm{F}$、辺 $\mathrm{CA}$ と点 $\mathrm{E}$、辺 $\mathrm{BC}$ の延長と点 $\mathrm{D}$ で交わっています。そこで $△\mathrm{ABC}$ と直線 $\mathrm{DEF}$ にメネラウスの定理を使います。

頂点 $\mathrm{A}$ から出発して、$\mathrm{A}\to \mathrm{F}\to \mathrm{B}\to \mathrm{D}\to \mathrm{C}\to \mathrm{E}\to \mathrm{A}$ と頂点と交点を交互にたどると
$$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$$
が成り立ちます。

条件から
- $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=3:1$ なので $\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=3$
- $\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=1:2$ なので $\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{2}{1}=2$（向きに注意して、$\mathrm{C}$ から $\mathrm{E}$、$\mathrm{E}$ から $\mathrm{A}$ の順に読みます）

これらを代入すると
$$3\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot 2=1$$
$$6\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=1$$
よって
$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{1}{6}$$
（$\mathrm{BD}<\mathrm{DC}$ なので、点 $\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の $\mathrm{B}$ 側の延長上にあります。）

メネラウスの定理を用いる。三角形 ABC と直線 FED について、$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$。
$AF:FB=3:1$ より $\frac{AF}{FB}=3$。$AE:EC=1:2$ より $\frac{CE}{EA}=2$。
よって $3\cdot \frac{BD}{DC}\cdot 2=1$ より $\frac{BD}{DC}=\frac{1}{6}$。

検算：座標で A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3) とすると F=(3,0), E=(0,1)。直線 FE: $x/3+y=1$。直線 BC: $x/4+y/3=1$ すなわち $3x+4y=12$。FE は $x+3y=3$ なので $x=3-3y$。代入して $9-9y+4y=12$ より $y=-3/5$、$x=24/5$。D=(24/5,-3/5)。B から D へのベクトルは (4/5,-3/5)、C から D へのベクトルは (24/5,-18/5)。長さの比 BD:DC = (1):(6)。したがって $1/6$。D は B の側の延長上にあるので、BD:DC=1:6 で確かに成り立つ。