図形の性質の問題

内心 $\mathrm{I}$ は 3 つの内角の二等分線の交点である。

手順 1：$\mathrm{BD}$ を求める。
直線 $\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線なので、点 $\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:7$ に内分する。よって
$$\mathrm{BD}=5\times \frac{8}{8+7}=\frac{8}{3}$$

手順 2：$△\mathrm{ABD}$ で角の二等分線を使う。
$\mathrm{I}$ は内心なので、$\mathrm{BI}$ は $\angle \mathrm{B}$（すなわち $\angle \mathrm{ABD}$）の二等分線である。$△\mathrm{ABD}$ において、$\mathrm{BI}$ は辺 $\mathrm{AD}$ を $\mathrm{BA}:\mathrm{BD}$ に内分するから
$$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=\mathrm{BA}:\mathrm{BD}=8:\frac{8}{3}=3:1$$

（これは公式 $\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=(\mathrm{AB}+\mathrm{AC}):\mathrm{BC}=(8+7):5=3:1$ と一致する。）

したがって
$$\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=3$$

AD は ∠A の二等分線なので、角の二等分線の定理より BD:DC = AB:AC = 8:7 である。BC=5 だから BD = 5·8/15 = 8/3、DC = 7/3 となる。

BI は ∠B の二等分線であり、△ABD において BI は ∠ABD の二等分線である。したがって AI:ID = BA:BD = 8:(8/3) = 3:1 となる。

別解として、内心の性質から AI:ID = (AB+AC):BC = (8+7):5 = 3:1 である。

検算：AI:ID = 3 と一致する。また、BA:BD = 8:(8/3) = 3 であり、これも一致する。

よって AI/ID = 3 である。