において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
角の二等分線と辺の比
で の二等分線（または外角の二等分線）が辺 を に内分（外分）することを使い、 のように線分の長さを求められる
前提
- 平行線と線分の比・内分と外分 （数学A 図形の性質）
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- 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
- 三角形の相似条件と対応する辺の長さ （中学数学 相似と三平方の定理）
- 平行線と線分の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 平行線と線分の比・内分と外分 （数学A 図形の性質）
説明
三角形の 1 つの角を二等分する直線は、向かい合う辺を「その角をはさむ 2 辺の長さの比」に分けます。外角の二等分線も同じ比で、こんどは向かい合う辺を外分します。これを使うと、3 辺の長さがわかっている三角形で、二等分線が辺と交わる点までの長さ（例えば ）を計算できます。内心や面積の問題、線分の比をつなぐ問題でよく使う道具です。
なぜそうしてよいのか
以下、, , と書きます。
内角の二等分線. の二等分線と辺 の交点を とします。 を通り に平行な直線を引き、直線 の の先の延長との交点を とします。直線 を横切る線として見ると錯角から 、直線 を横切る線として見ると同位角から で、 なので 。つまり は二等辺三角形で です。 で、 は辺 上、 は辺 上にあり なので、平行線と線分の比より
よって は を に内分し、、 です。直観的には「長い辺の側に、辺 の長い部分が来る」ということです。
外角の二等分線（まず の場合）. 辺 の の先の延長上に点 をとり、外角 （大きさ ）の二等分線を とします。 なので、辺 上に となる点 （）がとれます。 は二等辺三角形なので です。一方、 と直線 のつくる角は （ は 上の点）です。直線 を横切る 2 直線 と について、 での角 と での角 は同位角の位置にあって等しいので、 です（このとき錯角 も等しくなっています）。 は と平行ではありません（平行なら となり、 を共有するので が直線 上、つまり となって矛盾）。そこで と直線 の交点を とします。 で は辺 上にあり、 を通って に平行な直線 は直線 と で交わるので、平行線と線分の比から 、すなわち です。 なので は線分 上にあり、 は の先の延長上にあります。
よって は を に外分します。
と の場合. における 2 つの外角（ の延長と がつくる角、 の延長と がつくる角）は対頂角なので、二等分線は同じ直線 です。そこで のときは と の役割を入れ替えて上の議論を使うと、 で は の手前（ の の先）の延長上にあります。つまりこの場合も の外分です。 のときは が二等辺三角形で、 となり 、交点（外分点）はありません。
手順
どの角の二等分線か（内角か外角か）と、その角をはさむ 2 辺を確認する。 なら と
内角なら （内分）、外角なら （外分）と比を書く
内分なら 、外分なら のように、全体 を比で配分して長さを求める
外分のときは、 なら は の先、 なら の手前にあることを図で確かめる（ なら外分点はない）
例題
において , , とする。 の二等分線と辺 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
例題の解答
手順 1（二等分線と 2 辺の確認）: の内角の二等分線なので、 をはさむ 2 辺は と です。
手順 2（比を書く）: は辺 を に内分するので
手順 3（長さを求める）: を に配分して
（ で、 となり合っています。公式 とも一致します。）
手順 4: 内角の二等分線なので外分の確認は不要です。
答え:
よくある誤り
比の向きを逆にして としてしまう誤り。 に近い部分 には を端にもつ辺 が対応し、正しくは 。上の例で逆にすると となり誤り
二等分線が向かいの辺を二等分する（）と思ってしまう誤り。 になるのは のときだけで、一般には 。上の例では ,
外角の二等分線でも内分として計算してしまう誤り。外角の二等分線と直線 の交点 は を に外分する。上の三角形なら の外分なので、 から , （ は の先）であり、内分の ではない
外分点の位置を取り違える誤り。 なら外角の二等分線は の先で直線 と交わり、 なら の手前で交わる。 のときは外角の二等分線が に平行になり、外分点は存在しない
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
において、, , とする。 の外角の二等分線と辺 の延長との交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
において、, , とする。 の外角の二等分線と、辺 の延長との交点を とする。線分 の長さを求めよ。
この技能を使う問題
において、, , とする。 の内心を とし、直線 と辺 の交点を とする。線分 の長さを求めよ。
において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を とする。また、辺 上に点 を となるようにとる。線分 と線分 の交点を とするとき、 の値を求めよ。
において、, , とする。 の内心を とし、直線 と辺 の交点を とする。線分 の長さを求めよ。
において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を とする。辺 上に となる点 をとり、線分 と線分 の交点を とする。 の面積を求めよ。
において、, とする。 の二等分線と辺 の交点を 、辺 の中点を 、辺 を に内分する点を とする（）。
線分 と線分 の交点を 、線分 と線分 の交点を 、線分 と線分 の交点を とする。 の面積は の面積の何倍か。
三角形 において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を 、 の二等分線と辺 の交点を とする。さらに、直線 と直線 の交点を とする。三角形 の面積を求めよ。
図の縮尺は正確ではありません 円に内接する四角形 があり、
である。対角線 と の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。において , , とする。 の二等分線と辺 の交点を 、 の二等分線と辺 の交点を とする。直線 と直線 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
中心 、半径 の円 と、中心 、半径 の円 があり、 は に点 で内接している。 の弦 が点 で に接していて、 である。このとき、弦 の長さを求めよ。
において、, とします。次の 本の線分を考えます。
- の二等分線と辺 の交点を とした線分
- 辺 の中点を とした線分
- 点 から辺 に下ろした垂線の足を とした線分
この 本が 点 で交わるとき、 の面積を求めよ。
において、, とする（辺 の長さは与えられていない）。 の二等分線と辺 の交点を 、辺 の中点を 、頂点 から直線 に下ろした垂線の足を とする。3 直線 , , が 1 点 で交わるとき、 の面積を求めよ。
この技能の次に学べること
- 内心と傍心 （数学A 図形の性質）