図形の性質の問題

ステップ1：チェバの定理で $\mathrm{AH}$ を求める

角の二等分線の性質より
$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$
です。$\mathrm{M}$ は $\mathrm{CA}$ の中点なので $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{MA}}=1$ です。

$\mathrm{AD},\mathrm{BM},\mathrm{CH}$ は $1$ 点 $\mathrm{P}$ で交わるので、チェバの定理より
$$\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HB}}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{MA}}=1$$
が成り立ちます。値を代入すると $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HB}}\cdot \frac{3}{2}\cdot 1=1$ となるので、$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}=2:3$ です。

したがって
$$\mathrm{AH}=6\cdot \frac{2}{5}=\frac{12}{5},\mathrm{HB}=6\cdot \frac{3}{5}=\frac{18}{5}$$
です。

ステップ2：$\mathrm{CH}$ を求める

$△\mathrm{AHC}$ は $\angle \mathrm{AHC}=90^{\circ }$ の直角三角形です。三平方の定理より
$$\mathrm{CH}=\sqrt{{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{AH}}^2}=\sqrt{16-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$$
です。

なお $\cos A=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}$ となり、$\mathrm{H}$ が辺 $\mathrm{AB}$ 上にあることと矛盾しません。したがって、このような三角形は実際に存在します。

ステップ3：メネラウスの定理で $\mathrm{HP}:\mathrm{PC}$ を求める

$△\mathrm{AHC}$ と直線 $\mathrm{BM}$ を考えます。この直線は、辺 $\mathrm{AH}$ の延長と $\mathrm{B}$ で、辺 $\mathrm{HC}$ と $\mathrm{P}$ で、辺 $\mathrm{CA}$ と $\mathrm{M}$ で交わります。メネラウスの定理より
$$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BH}}\cdot \frac{\mathrm{HP}}{\mathrm{PC}}\cdot \frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{MA}}=1$$
が成り立ちます。値を代入すると
$$\frac{6}{\frac{18}{5}}\cdot \frac{\mathrm{HP}}{\mathrm{PC}}\cdot 1=1$$
より
$$\frac{\mathrm{HP}}{\mathrm{PC}}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$
です。したがって $\mathrm{CP}:\mathrm{CH}=5:8$ です。

ステップ4：面積を求める

$△\mathrm{HBC}$ は $\angle \mathrm{BHC}=90^{\circ }$ の直角三角形なので
$$△\mathrm{HBC}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{HB}\cdot \mathrm{CH}=\frac{1}{2}\cdot \frac{18}{5}\cdot \frac{16}{5}=\frac{144}{25}$$
です。

$△\mathrm{PBC}$ と $△\mathrm{HBC}$ は、頂点 $\mathrm{B}$ を共有し、底辺 $\mathrm{CP}$ と $\mathrm{CH}$ が同じ直線上にあります。よって面積比は $\mathrm{CP}:\mathrm{CH}=5:8$ に等しく、
$$△\mathrm{PBC}=\frac{5}{8}\cdot \frac{144}{25}=\frac{18}{5}$$
となります。

検算

$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{16}{5}=\frac{48}{5}$ です。また $\mathrm{P}$ から $\mathrm{AB}$ までの距離は $\mathrm{C}$ から $\mathrm{AB}$ までの距離の $\frac{3}{8}$ なので、$△\mathrm{PAB}=\frac{3}{8}\cdot \frac{48}{5}=\frac{18}{5}$ です。この値は質量点（$\mathrm{A}:\mathrm{B}:\mathrm{C}=3:2:3$）による計算とも一致します。

以上より、答えは $\frac{18}{5}$ です。

チェバの定理を使う。角の二等分線より $BD:DC=AB:AC=3:2$。$M$ は $CA$ の中点なので $CM:MA=1:1$。3線分が1点で交わるので、チェバの定理より $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CM}{MA}\cdot \frac{AH}{HB}=1$。よって $\frac{3}{2}\cdot 1\cdot \frac{AH}{HB}=1$ から $AH:HB=2:3$ となる。$AB=6$ より $AH=\frac{12}{5}$。

CH は AB への垂線で、$H$ は線分 $AB$ 上にあるので、$\cos A=\frac{AH}{AC}=\frac{12/5}{4}=\frac{3}{5}$、$\sin A=\frac{4}{5}$。

よって $△ABC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{4}{5}=\frac{48}{5}$。

次に面積比を求める。$P$ の重心座標を $(\alpha :\beta :\gamma )$ とすると、$D$ について $\beta :\gamma =DC:BD=2:3$。$M$ について $\alpha :\gamma =1:1$。したがって $\alpha :\beta :\gamma =3:2:3$。$△PBC:△ABC=\alpha :(\alpha +\beta +\gamma )=3:8$。

ゆえに $△PBC=\frac{3}{8}\cdot \frac{48}{5}=\frac{18}{5}$。

検算：$H$ について $AH:HB=\beta :\alpha =2:3$ となり、チェバの条件と一致する。