技能一覧 › 中学数学 相似と三平方の定理

相似と線分の比を使った面積の比

相似な図形の面積比が相似比の 2 乗になることと、高さが等しい三角形の面積比を組み合わせ、三角形や平行四辺形の中で 2 本の線分の交点がつくる三角形・四角形の面積を求められる

前提

• 平行線と線分の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
• 相似な図形の面積の比 （算数 平面図形）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 平行な辺を確認し、交点のまわりにできる相似な三角形（砂時計型・ピラミッド型）を見つける

2. 相似比を求め、交点が線分をどんな比に分けているかを求める

3. 全体の面積から、面積がすぐわかる大きな三角形（例: 平行四辺形の半分）の面積を求める

4. 高さが等しい三角形の面積比（底辺の比）を使って面積を分けていく。相似な三角形どうしなら面積比 $a^2:b^2$ も使う

5. 求めたい部分の面積を計算し、別の方法で確かめられれば確かめる

例題

よくある誤り

• 相似な三角形の面積比を相似比のまま $1:2$ として、$△DEF=20\times \frac{1}{2}=10$ としてしまう誤り。正しくは面積比は相似比の2乗で $1:4$、$△DEF=5$。

• 線分の比 $DF:FB=1:2$ を、全体に対する比 $DF:DB=1:2$ と取り違え、$△ADF=30\times \frac{1}{2}=15$ としてしまう誤り。正しくは $DF:DB=1:(1+2)=1:3$ で、$△ADF=10$。

• 高さが等しくない三角形どうしで、底辺の比をそのまま面積比にしてしまう誤り。底辺の比が面積比になるのは、頂点を共有し、底辺が同じ直線上にある（高さが等しい）三角形どうしのときだけ。

• 平行四辺形の面積をそのまま三角形 $ABD$ の面積として $60$ から計算を始めてしまう誤り。正しくは対角線 $BD$ で平行四辺形は2等分されるので、$△ABD=30$。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ の台形 $\mathrm{ABCD}$ で、$\mathrm{AD}=3\text{cm}$、$\mathrm{BC}=6\text{cm}$ です。対角線 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{O}$ とします。三角形 $\mathrm{OAD}$ の面積が $5{\text{cm}}^2$ のとき、三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{O}$$3\text{cm}$$6\text{cm}$

この技能を使う問題

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  平行四辺形 $ABCD$ があり、その面積は $72{\text{cm}}^2$ である。頂点は $A,B,C,D$ の順に並んでいる。辺 $AD$ 上に点 $E$ を $AE:ED=2:1$ となるようにとり、辺 $CD$ の中点を $F$ とする。線分 $BE$ と線分 $AF$ の交点を $G$ とするとき、四角形 $EGFD$ の面積を求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$$\mathrm{G}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  $△ABC$ の面積は $55{\text{cm}}^2$ である。辺 $BC$ 上に点 $D$ を $BD:DC=3:2$ となるようにとり、辺 $AC$ 上に点 $E$ を $AE:EC=1:2$ となるようにとる。線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $P$ とするとき、$△ABP$ の面積を求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{P}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  面積が $60{\text{cm}}^2$ の平行四辺形 $ABCD$ がある。辺 $BC$ 上に $BE:EC=2:1$ となる点 $E$ をとり、辺 $CD$ の中点を $F$ とする。線分 $AE$ と線分 $BF$ の交点を $P$、線分 $AE$ と対角線 $BD$ の交点を $Q$ とする。このとき、$△BPQ$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$$\mathrm{P}$$\mathrm{Q}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  面積が $48{\text{cm}}^2$ の $△ABC$ がある。辺 $BC$ の中点を $M$ とし、辺 $AC$ 上に $AD:DC=1:2$ となる点 $D$ をとる。線分 $AM$ と線分 $BD$ の交点を $P$ とするとき、四角形 $PMCD$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{M}$$\mathrm{D}$$\mathrm{P}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  $AD\parallel BC$、$AD=4\text{cm}$、$BC=10\text{cm}$ の台形 $ABCD$ があります。対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $O$ とすると、$△AOD$ の面積は $8{\text{cm}}^2$ でした。点 $O$ を通り辺 $BC$ に平行な直線と、辺 $AB$, $CD$ との交点をそれぞれ $P$, $Q$ とします。このとき、四角形 $PBCQ$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{O}$$\mathrm{P}$$\mathrm{Q}$$4\text{cm}$$10\text{cm}$

この技能の次に学べること

• チェバの定理 （数学A 図形の性質）