相似と三平方の定理の問題

1. 相似な三角形から線分の比を求める

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ なので、錯角が等しく
$$\angle \mathrm{OAD}=\angle \mathrm{OCB},\angle \mathrm{ODA}=\angle \mathrm{OBC}$$
2 組の角がそれぞれ等しいので $△\mathrm{OAD}\backsim △\mathrm{OCB}$ です。相似比は
$$\mathrm{AD}:\mathrm{CB}=3:6=1:2$$
よって
$$\mathrm{OD}:\mathrm{OB}=1:2$$

2. 高さが等しい三角形の面積の比を使う

三角形 $\mathrm{OAD}$ と三角形 $\mathrm{OAB}$ は、底辺をそれぞれ $\mathrm{OD}$, $\mathrm{OB}$（同じ直線 $\mathrm{BD}$ 上）とみると、頂点 $\mathrm{A}$ からの高さが等しくなります。高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しいので
$$△\mathrm{OAD}:△\mathrm{OAB}=\mathrm{OD}:\mathrm{OB}=1:2$$

$△\mathrm{OAD}=5{\text{cm}}^2$ なので
$$△\mathrm{OAB}=5\times 2=10({\text{cm}}^2)$$

答え: $10{\text{cm}}^2$

$AD//BC$ より $△OAD\backsim △OCB$ で相似比は $AD:CB=3:6=1:2$。よって $OD:OB=1:2$。$△OAD$ と $△OAB$ は、頂点 $A$ から直線 $BD$ にひいた垂線を高さとして共有し、底辺が $OD$ と $OB$ なので面積比は $OD:OB=1:2$。$△OAB=5\times 2=10$。確かめ: 面積比 $5:10=1:2$。答えは $10{\text{cm}}^2$。