チェバの定理

三角形の 3 頂点から引いた 3 直線が 1 点で交わるとき $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ を使い、辺の比を求められる

前提

相似と線分の比を使った面積の比（中学数学相似と三平方の定理）

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相似と線分の比を使った面積の比（中学数学相似と三平方の定理）

説明

チェバの定理は、三角形の 3 つの頂点からそれぞれ向かいの辺へ引いた 3 本の線分が 1 点で交わるときに、3 つの辺の分け方の比の間に成り立つ関係です。2 つの辺の比がわかっていれば、残り 1 つの辺の比を計算で求められます。図形の問題で、補助線を引いて相似を探さなくても辺の比が求まるので便利です。

なぜそうしてよいのか

三角形 $A B C$ の内部に点 $P$ をとります。直線 $A P, B P, C P$ が辺 $B C, C A, A B$ と交わる点をそれぞれ $D, E, F$ とします。中学で学んだ「高さが等しい三角形の面積の比は、底辺の比に等しい」という性質を使います。以下、 $△ X Y Z$ でその三角形の面積を表します。

$△ A B D$ と $△ A C D$ は頂点 $A$ からの高さが共通なので $\frac{B D}{D C} = \frac{△ A B D}{△ A C D}$ です。同じように $\frac{B D}{D C} = \frac{△ P B D}{△ P C D}$ も成り立ちます。この比の値を $k$ とおくと、 $△ A B D = k △ A C D$ 、 $△ P B D = k △ P C D$ です。辺々引くと $△ A B D - △ P B D = k (△ A C D - △ P C D)$ となり、左辺は $△ A B P$ 、右辺のかっこの中は $△ A C P$ です。よって $\frac{B D}{D C} = \frac{△ A B P}{△ A C P}$ が得られます。

同じ考え方で $\frac{C E}{E A} = \frac{△ B C P}{△ B A P}$ 、 $\frac{A F}{F B} = \frac{△ C A P}{△ C B P}$ も得られます。この 3 つを掛けると、分子と分母に同じ面積がちょうど 1 回ずつ現れて約分されます。こうして $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ が導かれます。覚え方は、 $A \to F \to B \to D \to C \to E \to A$ と三角形の周を一周する順に、頂点から分点、分点から頂点と交互にたどることです。

手順

3 本の線分が 1 点で交わっていることを確かめる。そのうえで、各辺の分点（ $D$ は $B C$ 上、 $E$ は $C A$ 上、 $F$ は $A B$ 上）を確認する
頂点 $A$ から出発し、 $A \to F \to B \to D \to C \to E \to A$ と周を一周する順に式を立てる： $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$
わかっている 2 つの比を代入する（例： $A F : F B = m : n$ なら $\frac{A F}{F B} = \frac{m}{n}$ ）
残った 1 つの比についての式を解く
求められている向き（例： $A E : E C$ なのか $C E : E A$ なのか）に直して答える

例題

三角形 $A B C$ の内部の点 $P$ について、直線 $A P, B P, C P$ が辺 $B C, C A, A B$ と交わる点をそれぞれ $D, E, F$ とする。 $A F : F B = 1 : 2$ 、 $B D : D C = 3 : 4$ のとき、 $\frac{A E}{E C}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】3 本の線分 $A D, B E, C F$ は点 $P$ で交わっている。分点は $D$ が $B C$ 上、 $E$ が $C A$ 上、 $F$ が $A B$ 上にある。
【手順 2】周を一周する順に式を立てると $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ となる。
【手順 3】 $\frac{A F}{F B} = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{B D}{D C} = \frac{3}{4}$ を代入すると $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ となる。
【手順 4】 $\frac{3}{8} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ より $\frac{C E}{E A} = \frac{8}{3}$ である。
【手順 5】求めるのは $\frac{A E}{E C}$ で、これは $\frac{C E}{E A}$ の逆数である。よって $\frac{A E}{E C} = \frac{3}{8}$ （ $A E : E C = 3 : 8$ ）。

答え: $\frac{3}{8}$

よくある誤り

一周する順を守らずに $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{D C}{B D} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ のように途中で向きを逆にしてしまう誤り。正しくは $A \to F \to B \to D \to C \to E \to A$ の順にたどり、 $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ とする。
辺全体との比を使って $\frac{A F}{A B} \cdot \frac{B D}{B C} \cdot \frac{C E}{C A} = 1$ としてしまう誤り。正しくは分点で分けた 2 つの部分どうしの比（ $\frac{A F}{F B}$ など）を使う。
式を解いて得た $\frac{C E}{E A} = \frac{8}{3}$ を、そのまま $A E : E C = 8 : 3$ と答えてしまう誤り。正しくは向きを逆にして $A E : E C = 3 : 8$ とする。
3 本の線分が 1 点で交わるかどうか確かめずに定理を使ってしまう誤り。チェバの定理は、3 本が 1 点で交わるときにだけ $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ を保証する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

チェバの定理

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