図形の性質の問題

チェバの定理とその逆による言いかえ

$\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ はそれぞれ辺 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$, $\mathrm{AB}$ の（両端を除く）内部の点である。このとき、チェバの定理とその逆により、$3$ 直線 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ が $1$ 点で交わることは
$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$$
と同値である（$3$ 点がすべて辺の内部にあるので、直線 $\mathrm{BE}$ と $\mathrm{CF}$ は三角形の内部で交わり、逆が使える）。

辺 $\mathrm{BC}$ 上の点 $\mathrm{D}$ は $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=i:(15-i)$ $(i=1,2,\dots ,14)$ で決まり、$\frac{i}{15-i}$ は $i$ が大きいほど大きいので、異なる点は異なる比をもつ。辺 $\mathrm{CA}$, $\mathrm{AB}$ についても同じである。そこで、比 $\frac{i}{15-i}$ のとりうる値の集合を $S$ とし、
$$xyz=1(x,y,z\in S)$$
を満たす順序のある組 $(x,y,z)$ の個数を数えればよい（同じ値をくり返し使ってもよい）。

$S$ の要素

$i=1,2,\dots ,14$ に対して $\frac{i}{15-i}$ を約分すると
$$\frac{1}{14},\frac{2}{13},\frac{1}{4},\frac{4}{11},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{7}{8},\frac{8}{7},\frac{3}{2},2,\frac{11}{4},4,\frac{13}{2},14$$
である。また、$15$ は奇数なので $i=15-i$ となる整数 $i$ はなく、$1\notin S$ である。

素因数ごとに考える

各要素を素因数分解したときの各素数の指数を考える。$xyz=1$ となるには、どの素数についても $x,y,z$ の指数の和が $0$ でなければならない。

• 素数 $11$ を含むのは $\frac{4}{11}$（指数 $-1$）と $\frac{11}{4}$（指数 $+1$）だけである。$11$ の指数の和が $0$ になるには、$3$ つのうちこの $2$ つを $1$ つずつ含むか、どちらも含まないかのどちらかである（$3$ つとも $11$ を含むと指数の和は奇数になる）。$1$ つずつ含むと、残りの $1$ つは $1÷\left(\frac{4}{11}\cdot \frac{11}{4}\right)=1$ でなければならないが、$1\notin S$ なので不可能。よって $\frac{4}{11}$, $\frac{11}{4}$ は使えない。
• 素数 $13$ を含むのは $\frac{2}{13}$, $\frac{13}{2}$ だけ、素数 $3$ を含むのは $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{2}$ だけで、それぞれ互いに逆数である。同じ理由で、これらも使えない。
• 素数 $7$ を含むのは $\frac{1}{14}$（指数 $-1$）, $14$（$+1$）, $\frac{7}{8}$（$+1$）, $\frac{8}{7}$（$-1$）である。$7$ の指数の和を $0$ にするには、指数 $+1$ のものと $-1$ のものを $1$ つずつ含み、残り $1$ つは $7$ を含まない（$3$ つとも $7$ を含むと指数の和は奇数）。残り $1$ つは $3,11,13$ も含まないので $2$ のべき $\frac{1}{4},\frac{1}{2},2,4$ のどれかである。
• $\frac{1}{14}$ と $14$、または $\frac{7}{8}$ と $\frac{8}{7}$ のとき：残りは $1$ でなければならず不可能。
• $\frac{1}{14}$ と $\frac{7}{8}$ のとき：積は $\frac{1}{16}$ なので残りは $16$ でなければならず不可能。
• $14$ と $\frac{8}{7}$ のとき：積は $16$ なので残りは $\frac{1}{16}$ でなければならず不可能。

よって $7$ を含む要素も使えない。

$2$ のべきだけの組

使えるのは
$$\frac{1}{4}=2^{-2},\frac{1}{2}=2^{-1},2=2^1,4=2^2$$
だけである。$x=2^a$, $y=2^b$, $z=2^c$ $(a,b,c\in \{-2,-1,1,2\})$ とおくと、条件は $a+b+c=0$ である。

$a,b,c$ はどれも $0$ でないので、$3$ つの符号がすべて同じになることはなく、$2$ つが同じ符号で残り $1$ つが反対の符号である。同じ符号の $2$ つの絶対値の和が残り $1$ つの絶対値に等しく、絶対値は $2$ 以下なので、同じ符号の $2$ つの絶対値はともに $1$、残り $1$ つの絶対値は $2$ である。よって $a,b,c$ は $1,1,-2$ の並べかえ（$3$ 通り）か、$-1,-1,2$ の並べかえ（$3$ 通り）である。

つまり $(x,y,z)$ は $2,2,\frac{1}{4}$ の並べかえ $3$ 通りと、$\frac{1}{2},\frac{1}{2},4$ の並べかえ $3$ 通りである。たとえば $(x,y,z)=\left(2,2,\frac{1}{4}\right)$ は $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=10:5$, $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=10:5$, $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=3:12$ に対応する。

以上より、求める選び方は
$$3+3=6\text{（通り）}$$

$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=a:(15-a)$, $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=b:(15-b)$, $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=c:(15-c)$（$a,b,c$ は $1$ から $14$ の整数）とおく。チェバの定理の逆より、$3$ 直線が $1$ 点で交わる条件は $\frac{a}{15-a}\cdot \frac{b}{15-b}\cdot \frac{c}{15-c}=1$。

$r(a)=\frac{a}{15-a}$ の値は $a=1,\dots ,14$ で順に $\frac{1}{14},\frac{2}{13},\frac{1}{4},\frac{4}{11},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{7}{8},\frac{8}{7},\frac{3}{2},2,\frac{11}{4},4,\frac{13}{2},14$。

素因数 $13$ は $a=2$（$\frac{2}{13}$）と $a=13$（$\frac{13}{2}$）にだけ現れる。積が $1$ になるには両方を使う必要があるが、その場合 $\frac{2}{13}\cdot \frac{13}{2}=1$ なので残りの比が $1$ でなければならない。$r(a)=1$ となる整数 $a$ はない（$a=7.5$ が必要）。よって $a=2,13$ は使えない。素因数 $11$（$a=4,11$）も同様に使えない。

残りは $\frac{1}{14},\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{7}{8},\frac{8}{7},\frac{3}{2},2,4,14$。素因数 $3$ は $\frac{2}{3},\frac{3}{2}$ にだけ現れるので、使うなら $\frac{2}{3}$ と $\frac{3}{2}$ を $1$ つずつ使い、残りの $1$ つの比が $1$ になる必要があるが不可能。よって $\frac{2}{3},\frac{3}{2}$ も使えない。

残り $\{\frac{1}{14},14,\frac{1}{4},4,\frac{1}{2},2,\frac{7}{8},\frac{8}{7}\}$ から $3$ つ選ぶ。素因数 $7$ の指数で、$7$ を含むもの（$\frac{1}{14},14,\frac{7}{8},\frac{8}{7}$）を使う場合は、指数 $+1$ のもの（$14,\frac{7}{8}$）と指数 $-1$ のもの（$\frac{1}{14},\frac{8}{7}$）を $1$ つずつ、残りは $7$ を含まないものを使う。このとき素因数 $2$ の指数は、$(+1\text{ か }-3)+(-1\text{ か }+3)+(\pm 1\text{ か }\pm 2)$ となり、和は $0$ にならない（$p+m\in \{0,4,-4,0\}$ で、残りの指数 $\pm 1,\pm 2$ では打ち消せない）。

$7$ を含まないものだけ $\{\frac{1}{4},4,\frac{1}{2},2\}$ を使う場合、$2$ の指数 $\{-2,+2,-1,+1\}$ の $3$ つの和が $0$ になるのは $\{-2,+1,+1\}$ と $\{+2,-1,-1\}$ のみ。すなわち比が $\{\frac{1}{4},2,2\}$（$a=3,10,10$）と $\{4,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}$（$a=12,5,5$）。それぞれ $(a,b,c)$ への割り当ては $3$ 通りずつ。

検算: $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 2=1$, $4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=1$。よって $3+3=6$ 通り。