図形の性質の問題

円 $O$, $O^{\prime }$ の中心をそれぞれ $\mathrm{O}$, ${\mathrm{O}}^{\prime }$ とし、$d=\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }=10$ とする。

共通接線が 4 本となる条件

$2$ つの円が共通接線を $4$ 本もつのは、互いに外部にあるとき、すなわち $d>6+r$ のときである。よって $10>6+r$ より $0<r<4$。

共通外接線の長さ

$\mathrm{OA}\perp \mathrm{AB}$, ${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{B}\perp \mathrm{AB}$ である。${\mathrm{O}}^{\prime }$ を通り $\mathrm{AB}$ に平行な直線と直線 $\mathrm{OA}$ の交点を $\mathrm{H}$ とすると、四角形 $\mathrm{HAB}{\mathrm{O}}^{\prime }$ は長方形で、$\mathrm{OH}=|6-r|$, $\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{\prime }=\mathrm{AB}$。直角三角形 $\mathrm{OH}{\mathrm{O}}^{\prime }$ で三平方の定理より
$${\mathrm{AB}}^2=d^2-(6-r{)}^2=100-(6-r{)}^2.$$

共通内接線の長さ

$\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ は接線の反対側にあるので、${\mathrm{O}}^{\prime }$ を通り $\mathrm{CD}$ に平行な直線と直線 $\mathrm{OC}$ の交点を $\mathrm{K}$ とすると、$\mathrm{OK}=6+r$, $\mathrm{K}{\mathrm{O}}^{\prime }=\mathrm{CD}$。同様に
$${\mathrm{CD}}^2=d^2-(6+r{)}^2=100-(6+r{)}^2.$$

条件から $r$ を求める

$\mathrm{AB}=2\mathrm{CD}$ より両辺は正なので、${\mathrm{AB}}^2=4{\mathrm{CD}}^2$ と同値である。
$$100-(6-r{)}^2=4\{100-(6+r{)}^2\}$$
左辺 $=100-36+12r-r^2=64+12r-r^2$、右辺 $=4(64-12r-r^2)=256-48r-4r^2$。よって
$$64+12r-r^2=256-48r-4r^2$$
$$3r^2+60r-192=0$$
$$r^2+20r-64=0$$
$$r=-10\pm \sqrt{100+64}=-10\pm 2\sqrt{41}.$$
$r>0$ より $r=2\sqrt{41}-10$。

$\sqrt{41}$ は $6.4$ と $6.5$ の間にあるので $2.8<2\sqrt{41}-10<3$ となり、$0<r<4$ を満たす。

したがって $r=2\sqrt{41}-10$。

共通接線がちょうど4本なので、2円は互いに外にあり離れている。よって $10>6+r$ すなわち $0<r<4$。

共通外接線の長さについて、${\mathrm{AB}}^2=10^2-(6-r{)}^2$。
共通内接線の長さについて、${\mathrm{CD}}^2=10^2-(6+r{)}^2$。

$\mathrm{AB}=2\mathrm{CD}$ より ${\mathrm{AB}}^2=4{\mathrm{CD}}^2$ なので
$100-(6-r{)}^2=4\{100-(6+r{)}^2\}$
$64+12r-r^2=256-48r-4r^2$
$3r^2+60r-192=0$
$r^2+20r-64=0$
$r=-10\pm 2\sqrt{41}$。

$r>0$ より $r=-10+2\sqrt{41}\approx 2.806$。これは $0<r<4$ を満たす。

検算: $r\approx 2.806$ のとき ${\mathrm{CD}}^2\approx 100-77.55=22.45$、${\mathrm{AB}}^2\approx 100-10.2=89.8\approx 4\times 22.45$ となり、条件を満たす。