2 つの円の位置関係

中心間の距離 $d$ と半径 $r, r^{'}$ の関係（ $d > r + r^{'}$ , $d = r + r^{'}$ , $∣ r - r^{'} ∣ < d < r + r^{'}$ , $d = ∣ r - r^{'} ∣$ など）から 2 円の位置関係を判定し、接するときの中心と接点が一直線上にあることを使える

前提

三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）

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算数中学高校大学大学院

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三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）

説明

2 つの円が「離れている」「外接する」「2 点で交わる」「内接する」「一方が他方の内部にある」「一致する」のどれになるかを、中心間の距離 $d$ と 2 つの半径 $r, r^{'}$ を比べるだけで判定できるようになります。図をかかなくても、数の大小から位置関係がわかります。また、2 円が接するときは 2 つの中心と接点が一直線上に並ぶことを使って、長さを求められます。

なぜそうしてよいのか

2 円の中心を $O, O^{'}$ 、半径を $r, r^{'}$ （ $r, r^{'} > 0$ ）、中心間の距離を $O O^{'} = d$ とします。まず、どんな 3 点 $X, Y, Z$ についても $X Z ≦ X Y + Y Z$ が成り立ち、等号は $Y$ が線分 $X Z$ 上にあるときだけです（ $Y$ が直線 $X Z$ 上にないときは三角形の 2 辺の和が残りの 1 辺より大きいこと、直線 $X Z$ 上で線分の外にあるときは長さを比べればわかります）。2 円に共有点 $P$ があれば $O P = r$ 、 $O^{'} P = r^{'}$ なので、この性質を 3 通りに使うと $d ≦ r + r^{'}$ 、 $r ≦ d + r^{'}$ 、 $r^{'} ≦ d + r$ 、まとめて $∣ r - r^{'} ∣ ≦ d ≦ r + r^{'}$ が必ず成り立ちます。したがって $d > r + r^{'}$ または $d < ∣ r - r^{'} ∣$ なら共有点はありません。 $d > r + r^{'}$ のとき、円 $O^{'}$ 上の点 $Q$ は $O Q ≧ O O^{'} - O^{'} Q = d - r^{'} > r$ なので円 $O$ の外部にあり（逆も同様）、2 円は互いに外部にあります。 $d < ∣ r - r^{'} ∣$ のとき（このとき $∣ r - r^{'} ∣ > 0$ なので $r \neq = r^{'}$ ）、たとえば $r > r^{'}$ なら円 $O^{'}$ 上の点 $Q$ は $O Q ≦ O O^{'} + O^{'} Q = d + r^{'} < r$ となり、小さい円は大きい円の内部にあります（ $d = 0$ なら同心円です）。

次に等号の場合です。 $d = r + r^{'}$ のとき、共有点 $P$ は $O O^{'} = O P + P O^{'}$ を満たすので線分 $O O^{'}$ 上にあり、その上で $O P = r$ となる点はただ 1 つです。逆にその点 $T$ は $O^{'} T = d - r = r^{'}$ を満たすので確かに共有点です。よって共有点は 1 つで、2 円は外接し、接点は $O$ と $O^{'}$ の間にあります。 $d = ∣ r - r^{'} ∣$ で $r \neq = r^{'}$ のとき（たとえば $r > r^{'}$ で $d = r - r^{'} > 0$ ）、共有点 $P$ は $O P = r = O O^{'} + O^{'} P$ を満たすので $O^{'}$ が線分 $O P$ 上にあります。つまり $P$ は $O$ から $O^{'}$ の方向にのばした半直線上で $O P = r$ となる点で、ただ 1 つです。逆にその点 $T$ は $O^{'} T = r - d = r^{'}$ なので共有点です。よって 2 円は内接し、接点は $O$ から見て $O^{'}$ の先にあります。ただし $r = r^{'}$ かつ $d = 0$ のときは中心も半径も同じなので 2 円は一致し、共有点は無数にあります。この場合を除けば、等号のとき共有点はちょうど 1 つで、2 円は接し、接点は直線 $O O^{'}$ 上にあります。

最後に $∣ r - r^{'} ∣ < d < r + r^{'}$ のときは、3 辺が $d, r, r^{'}$ の三角形がかけるので、その頂点 $P$ と、直線 $O O^{'}$ について $P$ と対称な点の 2 つが共有点になります。共有点が直線 $O O^{'}$ 上にあると上の等号が成り立ってしまうので、共有点はすべて直線 $O O^{'}$ の外にあり、直線の片側ごとに 1 つずつ、合わせて 2 点で交わります。

手順

中心間の距離 $d$ と 2 つの半径 $r, r^{'}$ （ $r, r^{'} > 0$ ）を確認する。
和 $r + r^{'}$ と差 $∣ r - r^{'} ∣$ を計算する。
$d$ と比べて判定する： $d > r + r^{'}$ なら互いに外部、 $d = r + r^{'}$ なら外接、 $∣ r - r^{'} ∣ < d < r + r^{'}$ なら 2 点で交わる、 $d = ∣ r - r^{'} ∣$ かつ $r \neq = r^{'}$ （このとき $d > 0$ ）なら内接、 $d < ∣ r - r^{'} ∣$ なら小さい円が大きい円の内部（このとき自動的に $r \neq = r^{'}$ 。 $d = 0$ なら同心円）。 $r = r^{'}$ かつ $d = 0$ なら 2 円は一致する。
位置関係が与えられて未知の長さを求めるときは、対応する式（外接なら $d = r + r^{'}$ 、内接なら $d = ∣ r - r^{'} ∣$ かつ $r \neq = r^{'}$ など）を立てて解き、半径が正であることなどの条件で答えを確かめる。
接するときは、2 つの中心と接点 $T$ が直線 $O O^{'}$ 上に並ぶことを使う。外接なら $O T + T O^{'} = O O^{'}$ 、内接（ $r > r^{'}$ ）なら $O T = O O^{'} + O^{'} T$ 。

例題

半径 $r$ の円 $O$ と半径 $3$ の円 $O^{'}$ があり、中心間の距離は $O O^{'} = 5$ である。この 2 円が内接するとき、 $r$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1： $d = 5$ 、半径は $r$ と $3$ （ $r > 0$ ）。
手順 2：差は $∣ r - 3∣$ である。
手順 3・4：内接するのは $d = ∣ r - r^{'} ∣$ かつ $r \neq = r^{'}$ のときなので、 $∣ r - 3∣ = 5$ 。よって $r - 3 = 5$ または $r - 3 = - 5$ より、 $r = 8$ または $r = - 2$ 。半径は正なので $r = 8$ 。このとき $r \neq = 3$ で、 $d = 5 > 0$ も満たしている。
確認：大きい円の半径 $8$ 、小さい円の半径 $3$ で、差 $8 - 3 = 5 = d$ だから確かに内接する。手順 5 より、接点 $T$ は直線 $O O^{'}$ 上で $O$ から見て $O^{'}$ の先にあり、 $O T = O O^{'} + O^{'} T = 5 + 3 = 8$ となって円 $O$ の半径と一致する。
答え： $r = 8$

答え: $8$

よくある誤り

内接の条件を $d = r + r^{'}$ としてしまう誤り。正しくは $d = r + r^{'}$ は外接で、内接は $d = ∣ r - r^{'} ∣$ （ $r \neq = r^{'}$ ）。例えば半径 $8$ と $3$ の円が内接するとき $d = 5$ であって $11$ ではない。
差を $r - r^{'}$ のまま使い、大小を考えないでしまう誤り。正しくは $∣ r - r^{'} ∣$ で考える。半径 $3$ と $r$ の円が内接し $d = 5$ なら $r - 3 = 5$ だけでなく $3 - r = 5$ も検討し、 $r > 0$ から $r = 8$ と決める。
$d < r + r^{'}$ だけで「2 点で交わる」と判定してしまう誤り。正しくは $∣ r - r^{'} ∣ < d < r + r^{'}$ の両側が必要。半径 $5$ と $1$ 、 $d = 2$ のときは $d < 6$ だが $d < 4 = ∣5 - 1∣$ なので、小さい円は大きい円の内部にあり共有点はない。
$d = ∣ r - r^{'} ∣$ なら必ず内接すると考えてしまう誤り。正しくは $r = r^{'}$ のとき $∣ r - r^{'} ∣ = 0$ なので $d = 0$ となり、2 円は一致する（共有点は無数）。例えば半径 $2$ と $2$ 、 $d = 0$ は内接ではない。内接は $d = ∣ r - r^{'} ∣$ かつ $r \neq = r^{'}$ のとき。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 円の共通接線（数学A 図形の性質）