図形の性質の問題
中心 、半径 の円 の内部に、中心 、半径 の円 があり、 は に点 で内接している。直線 と円 の交点のうち、 でない方を とする。線分 の長さを求めよ。
この問題で使うもの
- 2 つの円の位置関係（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（25 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
「2 つの円の位置関係」を使います。内接する 2 円の中心間の距離と半径の関係、および接点が中心を結ぶ直線上にあることを使いましょう。
ヒント 2
内接する 2 円では、中心間の距離は（大きい半径）（小さい半径）です。また、, , は一直線上にあります。
ヒント 3
です。 は の直径 の端で、 から の側に だけ離れた点です。
答えと解説
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解説を読む
手順 1：中心間の距離を求める。
半径 , （）の 2 円が内接するとき、中心間の距離 は である。ここでは , なので
手順 2：接点の位置を考える。
2 円が接するとき、2 つの中心と接点は一直線上にある。内接なので、 は と の間にあり、
である（実際 ）。
手順 3：点 P の位置を求める。
直線 は の中心 を通るので、 との 2 つの交点 , は直径の両端であり、 から見て と反対側（ の側）に の位置に がある。 なので、 は線分 上にある。
よって
（別解： は の直径で なので、 としてもよい。）
答えは である。
別解
円 は円 に点 で内接しているので、 は一直線上にあり、 である。\n\n直線 上に数直線をとり、 を原点、 を座標 の点とする。すると の座標は である。\n\n円 と直線 の交点は座標 、すなわち と の点である。 が なので、 の座標は となる。\n\nよって である。\n\n検算： は の直径で長さ 。 なので となり一致する。