図形の性質の問題

$r=4$, $r^{\prime }=2$, $d=\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }=10$ とします。$d=10>r+r^{\prime }=6$ なので、2 円は互いに外部にあり、共通内接線が引けます。

共通内接線の接点間の長さの公式を確かめる

接線は接点を通る半径に垂直なので、$\mathrm{OA}\perp \mathrm{AB}$、${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{B}\perp \mathrm{AB}$ です。

半直線 $\mathrm{OA}$ を $\mathrm{A}$ の先へのばし、$\mathrm{AH}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{B}=2$ となる点 $\mathrm{H}$ をとります。共通内接線では、2 つの中心は接線の反対側にあるので、$\mathrm{H}$ は ${\mathrm{O}}^{\prime }$ と同じ側にあり、$\mathrm{AH}$ と $\mathrm{B}{\mathrm{O}}^{\prime }$ はともに $\mathrm{AB}$ に垂直で長さが等しくなります。よって四角形 $\mathrm{AB}{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{H}$ は長方形で、
$$\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{\prime }=\mathrm{AB},\angle \mathrm{OH}{\mathrm{O}}^{\prime }=90^{\circ }$$
です。また
$$\mathrm{OH}=\mathrm{OA}+\mathrm{AH}=4+2=6(=r+r^{\prime })$$
です。

三平方の定理を使う

直角三角形 $\mathrm{OH}{\mathrm{O}}^{\prime }$ で
$${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{\prime }}^2={\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }}^2-{\mathrm{OH}}^2=10^2-6^2=100-36=64$$
$\mathrm{AB}>0$ より $\mathrm{AB}=8$ です。

これは公式 $\mathrm{AB}=\sqrt{d^2-(r+r^{\prime }{)}^2}=\sqrt{10^2-(4+2{)}^2}=8$ と一致します。

答え: $8$

共通内接線の接点間の長さは、中心間の距離を $d$、半径を $r,r^{\prime }$ とすると $AB=\sqrt{d^2-(r+r^{\prime }{)}^2}$ で求められる。

導出：${\mathrm{O}}^{\prime }$ を通り直線 $\mathrm{AB}$ に平行な直線を引き、直線 $\mathrm{OA}$ の延長との交点を H とする。ここで $\mathrm{OA}\perp \mathrm{AB}$、${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{B}\perp \mathrm{AB}$ である。内接線なので O と O' は直線 AB の反対側にある。よって、$\mathrm{OA}$ の A 側の延長上に $\mathrm{AH}=\mathrm{B}{\mathrm{O}}^{\prime }=2$ となる H をとると、四角形 ABO'H は長方形になる。したがって $\mathrm{OH}=4+2=6$、$\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{\prime }=\mathrm{AB}$ であり、$\angle \mathrm{OH}{\mathrm{O}}^{\prime }=90^{\circ }$ である。

三平方の定理より ${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }}^2-{\mathrm{OH}}^2=10^2-6^2=64$。

よって $\mathrm{AB}=8$。

検算：$\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。内接線は2円の間を通るので、A と B の位置関係は、O から接線までの距離 4 と O' から接線までの距離 2 の和が 6 で、これは $10$ 以下なので条件を満たす。