図形の性質の問題

共通内接線は 2 円のあいだを通り、2 円の中心は接線の反対側にある。

接線は接点を通る半径に垂直なので、$\mathrm{OA}\perp \mathrm{AB}$、${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{B}\perp \mathrm{AB}$ である。

点 ${\mathrm{O}}^{\prime }$ を通り直線 $\mathrm{AB}$ に平行な直線を引き、直線 $\mathrm{OA}$ を $\mathrm{A}$ の側へ延長したものとの交点を $\mathrm{H}$ とする。四角形 $\mathrm{AB}{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{H}$ は長方形になるので
$$\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{\prime }=\mathrm{AB},\mathrm{AH}=\mathrm{B}{\mathrm{O}}^{\prime }=2$$
である。$\mathrm{O}$ と ${\mathrm{O}}^{\prime }$ は接線 $\mathrm{AB}$ の反対側にあるので、
$$\mathrm{OH}=\mathrm{OA}+\mathrm{AH}=4+2=6$$
となる（半径の和）。

$△\mathrm{OH}{\mathrm{O}}^{\prime }$ は $\angle \mathrm{H}=90^{\circ }$ の直角三角形なので、三平方の定理より
$${\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{\prime }}^2={\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }}^2-{\mathrm{OH}}^2=10^2-6^2=100-36=64$$
よって $\mathrm{AB}=\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{\prime }=\sqrt{64}=8$。

これは公式 $\sqrt{d^2-(r+r^{\prime }{)}^2}=\sqrt{10^2-(4+2{)}^2}=8$ と一致する。

（なお $d=10>4+2=6$ なので 2 円は互いに外部にあり、共通内接線は確かに存在する。）

共通内接線の接点間の長さは $AB=\sqrt{d^2-(r+r^{\prime }{)}^2}$ で求められる。

ここで $d=10$、$r=4$、$r^{\prime }=2$ なので、$r+r^{\prime }=6$ である。

$AB=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$

検算：線分 $\mathrm{OA}$ を延長せずに、${\mathrm{O}}^{\prime }$ から $\mathrm{OA}$ の延長線上へ垂線を下ろす考え方で確かめる。$\mathrm{OA}\perp AB$、${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{B}\perp AB$ であり、$A$ と $B$ は円の中心の反対側にある。$\mathrm{O}$ から $A$ と反対向きに長さ $2$ だけ線分を延ばした点を $C$ とすると、$AC=AO+OC$ ではなく、${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{B}$ を $B$ の側へ平行移動して考える。このとき、直角三角形の斜辺が $\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }=10$、一辺が $4+2=6$ となり、残りの辺が $AB$ なので $AB=8$ である。$6^2+8^2=100=10^2$ で一致する。