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図形の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 図形の性質

平面上に、点 $A$ , $B$ , $C$ を中心とする $3$ つの円があり、どの $2$ つの円も互いに外接している。 $AB = 5$ , $BC = 7$ , $CA = 6$ であるとき、点 $A$ を中心とする円の半径を求めよ。

A

B

C

5

7

6

3 つの円の中心を結んだ三角形（円は省略している）

この問題で使うもの

2 つの円の位置関係（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（25 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 つの円が外接するとき、中心間の距離と 2 つの半径のあいだに成り立つ関係を使います。

ヒント 2

外接する 2 円では、中心と接点が一直線上にあるので、中心間の距離 $d$ は半径の和 $r + r^{'}$ に等しくなります。3 つの円の半径を $a$ , $b$ , $c$ とおきましょう。

ヒント 3

$a + b = 5$ , $b + c = 7$ , $c + a = 6$ の 3 式を辺ごとに足すと $a + b + c = 9$ になります。ここから $a$ を求めましょう。

答えと解説

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2

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解説を読む

点 $A$ , $B$ , $C$ を中心とする円の半径を、それぞれ $a$ , $b$ , $c$ とする（ $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ ）。

外接する 2 円の中心間の距離

2 つの円が外接するとき、2 つの中心と接点は一直線上にあり、接点は 2 つの中心のあいだにある。したがって、中心間の距離 $d$ は半径の和に等しい。
$d = r + r^{'}$

式を立てる

3 組の円はどれも外接しているので、
$a + b = 5 (1)$
$b + c = 7 (2)$
$c + a = 6 (3)$

連立方程式を解く

$(1) + (2) + (3)$ より $2 (a + b + c) = 18$ 、よって
$a + b + c = 9 (4)$
$(4) - (2)$ より
$a = 9 - 7 = 2$

（確かめ： $b = 5 - 2 = 3$ , $c = 6 - 2 = 4$ となり、 $b + c = 7$ を満たす。 $a$ , $b$ , $c$ はどれも正である。）

よって、点 $A$ を中心とする円の半径は $2$ である。

別解

3つの円の半径を順に $r_{A}, r_{B}, r_{C}$ とする。互いに外接するので、中心間の距離は半径の和に等しく、
$r_{A} + r_{B} = 5$ , $r_{B} + r_{C} = 7$ , $r_{C} + r_{A} = 6$ である。
3式を辺々加えると $2 (r_{A} + r_{B} + r_{C}) = 18$ より $r_{A} + r_{B} + r_{C} = 9$ となる。
よって $r_{A} = 9 - 7 = 2$ , $r_{B} = 9 - 6 = 3$ , $r_{C} = 9 - 5 = 4$ である。
検算: $2 + 3 = 5$ , $3 + 4 = 7$ , $4 + 2 = 6$ となり、すべて条件を満たす。
したがって A を中心とする円の半径は $2$ である。

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