図形の性質の問題

1. 直線 $\mathrm{TP}$ が $\angle \mathrm{ATB}$ を二等分することを示す

直線 $\mathrm{TP}$ と $C_1$ の $\mathrm{T}$ 以外の交点を $\mathrm{M}$ とする。2 円は $\mathrm{T}$ で内接しているので、$\mathrm{O}$, ${\mathrm{O}}^{\prime }$, $\mathrm{T}$ は一直線上にある。$△{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{TP}$ と $△\mathrm{OTM}$ はどちらも二等辺三角形で、底角 $\angle {\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{TP}=\angle \mathrm{OTM}$ を共有する。よって 2 つの三角形は相似で、相似比は $4:9$ である。したがって $\angle {\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{PT}=\angle \mathrm{OMT}$ より ${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}\parallel \mathrm{OM}$ となり、
$$\mathrm{TP}:\mathrm{TM}=4:9$$
が成り立つ。

${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}\perp \mathrm{AB}$ なので $\mathrm{OM}\perp \mathrm{AB}$ である。よって $\mathrm{M}$ は弧 $\mathrm{AB}$（$\mathrm{T}$ を含まない側）の中点であり、$\angle \mathrm{ATM}=\angle \mathrm{MTB}$ となる。すなわち $\mathrm{TP}$ は $\angle \mathrm{ATB}$ の二等分線である。

2. 長さの関係を立てる

角の二等分線の性質より、$\mathrm{TA}:\mathrm{TB}=\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=1:3$ である。そこで $\mathrm{AP}=a$, $\mathrm{PB}=3a$, $\mathrm{TA}=y$, $\mathrm{TB}=3y$, $\mathrm{TP}=x$ とおく。1 の結果から $\mathrm{TM}=\frac{9}{4}x$, $\mathrm{PM}=\frac{5}{4}x$ である。

(i) 円 $C_1$ で弦 $\mathrm{AB}$ と弦 $\mathrm{TM}$ は $\mathrm{P}$ で交わるので、方べきの定理より
$$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PT}\cdot \mathrm{PM}\text{より}3a^2=\frac{5}{4}{x}^2.$$

(ii) $△\mathrm{TAP}$ と $△\mathrm{TMB}$ において、$\angle \mathrm{ATP}=\angle \mathrm{MTB}$ である。また、弧 $\mathrm{TB}$ に対する円周角なので $\angle \mathrm{TAP}=\angle \mathrm{TMB}$ である。よって 2 つの三角形は相似で、$\mathrm{TA}:\mathrm{TM}=\mathrm{TP}:\mathrm{TB}$ となる。これより
$$\mathrm{TA}\cdot \mathrm{TB}=\mathrm{TP}\cdot \mathrm{TM}\text{より}3y^2=\frac{9}{4}{x}^2.$$

(i), (ii) から $a^2=\frac{5}{12}{x}^2$, $y^2=\frac{3}{4}{x}^2$ となるので、
$$y^2=\frac{9}{5}{a}^2.$$

3. $\angle \mathrm{ATB}$ を求める

$△\mathrm{TAB}$ の 3 辺は $\mathrm{TA}=y$, $\mathrm{TB}=3y$, $\mathrm{AB}=4a$ である。余弦定理より
$$\cos \angle \mathrm{ATB}=\frac{y^2+9y^2-16a^2}{2\cdot y\cdot 3y}=\frac{10y^2-16a^2}{6y^2}.$$
ここに $y^2=\frac{9}{5}{a}^2$ を代入すると、
$$\cos \angle \mathrm{ATB}=\frac{18a^2-16a^2}{\frac{54}{5}{a}^2}=\frac{2}{\frac{54}{5}}=\frac{5}{27}.$$
よって
$$\sin \angle \mathrm{ATB}=\sqrt{1-\frac{25}{729}}=\frac{\sqrt{704}}{27}=\frac{8\sqrt{11}}{27}.$$

4. $\mathrm{AB}$ を求める

$△\mathrm{TAB}$ は半径 $9$ の円 $C_1$ に内接しているので、正弦定理より
$$\mathrm{AB}=2\cdot 9\cdot \sin \angle \mathrm{ATB}=18\cdot \frac{8\sqrt{11}}{27}=\frac{16\sqrt{11}}{3}.$$

（検算）$\mathrm{O}(0,0)$, $\mathrm{T}(9,0)$, ${\mathrm{O}}^{\prime }(5,0)$ とおく。直線 $-\frac{7}{15}x+\frac{4\sqrt{11}}{15}y=\frac{5}{3}$ は ${\mathrm{O}}^{\prime }$ からの距離が $4$ なので $C_2$ に接する。$\mathrm{O}$ からの距離は $\frac{5}{3}$ なので、弦の半分の長さは $\sqrt{81-\frac{25}{9}}=\frac{8\sqrt{11}}{3}$ である。また、$\mathrm{O}$ からの垂線の足と $\mathrm{P}$ との距離は $\frac{4\sqrt{11}}{3}$ なので、$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=1:3$ を満たし、結果と一致する。

したがって $\mathrm{AB}=\frac{16\sqrt{11}}{3}$ である。

$\mathrm{AP}=x$、$\mathrm{PB}=3x$ とおくと $\mathrm{AB}=4x$。弦 AB の中点を M とすると $\mathrm{AM}=2x$ なので $\mathrm{MP}=x$。

O から AB への垂線の足は M。${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}\perp \mathrm{AB}$ で ${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}=4$。

O から AB までの距離を $d$ とすると $d^2=81-(2x{)}^2$ より $x^2=\frac{81-d^2}{4}$。

内接より ${\mathrm{OO}}^{\prime }=9-4=5$。

O と O' が AB に関して同じ側にあるとき、
$25=x^2+(d-4{)}^2$
$100=81-d^2+4(d^2-8d+16)$
$3d^2-32d+45=0$
$d=\frac{32\pm 22}{6}=9,\frac{5}{3}$

$d=9$ は $x=0$ となり不適なので $d=\frac{5}{3}$。

反対側にあるとき、$25=x^2+(d+4{)}^2$ から $3d^2+32d+45=0$。これは $d\ge 0$ に解がない。

$d=\frac{5}{3}$ のとき $x^2=\frac{81-\frac{25}{9}}{4}=\frac{176}{9}$ より $x=\frac{4\sqrt{11}}{3}$。

したがって $\mathrm{AB}=4x=\frac{16\sqrt{11}}{3}$。

検算：$x^2+(d-4{)}^2=\frac{176}{9}+\frac{49}{9}=25$ となり ${\mathrm{OO}}^{\prime 2}$ と一致する。また $\mathrm{AB}\approx 17.7<18$ で、直径 18 以下であることとも矛盾しない。