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図形の性質の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学A 図形の性質

中心 $O_{1}$ 、半径 $15$ の円 $C_{1}$ と、中心 $O_{2}$ 、半径 $13$ の円 $C_{2}$ があり、 $O_{1} O_{2} = 14$ である。 $C_{1}$ と $C_{2}$ は 2 点で交わる。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の共通外接線の 1 本を $ℓ$ とし、 $ℓ$ が $C_{1}$ に接する点を $A$ 、 $C_{2}$ に接する点を $B$ とする。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の 2 つの交点のうち、直線 $ℓ$ に近い方を $P$ 、遠い方を $Q$ とし、直線 $P Q$ と直線 $ℓ$ の交点を $M$ とする。線分 $M P$ の長さを求めよ。

O_{1}

O_{2}

A

B

P

Q

M

ℓ

14

この問題で使うもの

2 円の共通接線（説明と入口の問題）
方べきの定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

共通弦 $P Q$ の長さと共通外接線の長さ $A B$ を、それぞれ三平方の定理で求めましょう。そのうえで、点 $M$ について方べきの定理を 2 つの円それぞれに使います。

ヒント 2

方べきの定理より $M A^{2} = M P \cdot M Q = M B^{2}$ が成り立つので、 $M$ は $A B$ の中点です。また、共通外接線の長さは $O_{1} O_{2}^{2} - (r_{1} - r_{2})^{2}$ で求められます。

ヒント 3

$P Q = 24$ 、 $A B = 83$ となるので $M A^{2} = 48$ です。 $M P = t$ とおくと、 $t (t + 24) = 48$ という方程式が得られます。

答えと解説

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83 - 12

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解説を読む

1. 共通弦 $P Q$ の長さ

2 円の共通弦 $P Q$ は中心線 $O_{1} O_{2}$ と垂直に交わり、その交点 $H$ は $P Q$ の中点である。 $O_{1} H = x$ とおくと $O_{2} H = 14 - x$ であり、三平方の定理より
$P H^{2} = 1 5^{2} - x^{2} = 1 3^{2} - (14 - x)^{2}$
である。右辺を展開すると $169 - 196 + 28 x - x^{2} = - 27 + 28 x - x^{2}$ なので
$225 - x^{2} = - 27 + 28 x - x^{2} より 28 x = 252, x = 9$
である。よって $P H^{2} = 225 - 81 = 144$ 、 $P H = 12$ となり、 $P Q = 24$ である。

2. 共通外接線の長さ $A B$

$O_{1} A ⊥ ℓ$ 、 $O_{2} B ⊥ ℓ$ なので、四角形 $O_{1} A B O_{2}$ は $O_{1} A ∥ O_{2} B$ の台形である。 $O_{2}$ から線分 $O_{1} A$ に垂線 $O_{2} K$ を下ろすと $O_{1} K = 15 - 13 = 2$ 、 $O_{2} K = A B$ である。三平方の定理より
$A B = O_{1} O_{2}^{2} - O_{1} K^{2} = 1 4^{2} - 2^{2} = 192 = 83$
である。

3. 点 $M$ は $A B$ の中点

$M$ は両円の外部にある点である。 $M$ を通る直線 $ℓ$ は $C_{1}$ に $A$ で接し、直線 $M P Q$ は $C_{1}$ と $P, Q$ で交わる。したがって方べきの定理より $M A^{2} = M P \cdot M Q$ が成り立つ。 $C_{2}$ についても同様に $M B^{2} = M P \cdot M Q$ である。

よって $M A = M B$ となり、 $M$ は線分 $A B$ の中点である。したがって
$M A = 43, M A^{2} = 48$
である。

4. $M P$ を求める

$P, Q$ は $M$ から見て同じ側にあり、 $P$ の方が $M$ に近いので $M Q = M P + 24$ である。 $M P = t (t > 0)$ とおくと
$t (t + 24) = 48 すなわち t^{2} + 24 t - 48 = 0$
となる。 $t > 0$ より
$t = - 12 + 144 + 48 = - 12 + 192 = 83 - 12$
である。 $83 = 192 > 144 = 12$ なので、この値は正である。

(確認) 座標を $O_{1} (0, 0)$ 、 $O_{2} (14, 0)$ とおくと $P (9, 12)$ であり、 $M (9, m)$ の $C_{1}$ に関する方べきは $81 + m^{2} - 225 = 48$ となるので $m = 83$ である。よって $M P = 83 - 12$ となり、結果は一致する。

答え: $M P = 83 - 12$

別解

$O_{1} = (0, 0)$ 、 $O_{2} = (14, 0)$ とおく。

2円の方程式 $x^{2} + y^{2} = 225$ と $(x - 14)^{2} + y^{2} = 169$ の差をとると $- 28 x + 196 = - 56$ より $x = 9$ 。これが直線 $P Q$ (根軸)である。このとき $y^{2} = 225 - 81 = 144$ より $y = \pm 12$ なので、交点は $(9, \pm 12)$ で $P Q = 24$ 。

$M$ は根軸上の点だから、 $M$ から2円への方べき(接線の長さの2乗)は等しく、 $M A^{2} = M B^{2}$ より $M A = M B$ 。つまり $M$ は $A B$ の中点。

共通外接線の接点間の長さは $A B = O_{1} O_{2}^{2} - (15 - 13)^{2} = 196 - 4 = 192 = 83$ 。よって $M A = 43$ 、 $M A^{2} = 48$ 。

$M$ は円 $C_{1}$ の外部にあり、 $P$ が $ℓ$ に近い方なので $M, P, Q$ はこの順に並ぶ。方べきの定理より $M P \cdot M Q = M A^{2}$ だから
$M P (M P + 24) = 48$ 、すなわち $M P^{2} + 24 M P - 48 = 0$ 。

$M P > 0$ より $M P = - 12 + 144 + 48 = - 12 + 83$ 。

検算: $83 \approx 13.856$ なので $M P \approx 1.856$ 、 $M Q \approx 25.856$ 。積は $1.856 \times 25.856 \approx 48.0$ で一致する。

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