図形の性質の問題

$|5-3|=2<6<5+3=8$ なので、2 円は 2 点で交わる。もう一方の交点を $B$ とする。

(1) 共通外接線の長さ

$O_{1}P\perp \ell$, $O_{2}Q\perp \ell$ である。$O_2$ から直線 $O_{1}P$ に垂線 $O_{2}R$ を下ろすと、四角形 $RPQ{O}_2$ は長方形なので $O_{1}R=5-3=2$, $O_{2}R=PQ$ である。直角三角形 $O_{1}R{O}_2$ において
$$PQ=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.$$

(2) 直線 $AB$ と $\ell$ の交点

直線 $AB$ と $\ell$ の交点を $M$ とする。方べきの定理より
$$M{P}^2=MA\cdot MB=M{Q}^2$$
なので $MP=MQ$、すなわち $M$ は線分 $PQ$ の中点で $MP=2\sqrt{2}$、よって $MA\cdot MB=8$ である。

(3) 共通弦 $AB$ の長さ

共通弦 $AB$ は $O_1{O}_2$ と垂直に交わり、その交点 $H$ は $AB$ の中点である。$O_{1}H=x$ とおくと $O_{2}H=6-x$ で、$A{H}^2$ を 2 通りに表して
$$25-x^2=9-(6-x{)}^2.$$
右辺を展開すると $9-36+12x-x^2$ なので $25=-27+12x$、よって $x=\frac{13}{3}$。したがって
$$A{H}^2=25-\frac{169}{9}=\frac{56}{9},AH=\frac{2\sqrt{14}}{3},AB=\frac{4\sqrt{14}}{3}.$$

(4) $MA$ の長さ

$M$ は 2 円の外部にあり、$A$ は $B$ より $\ell$ に近いので、直線 $AB$ 上で $M,A,B$ はこの順に並ぶ。$MA=t(t>0)$ とおくと $MB=t+\frac{4\sqrt{14}}{3}$ で、
$$t\left(t+\frac{4\sqrt{14}}{3}\right)=8\text{すなわち}{t}^2+\frac{4\sqrt{14}}{3}t-8=0.$$
$$t=\frac{1}{2}\left(-\frac{4\sqrt{14}}{3}+\sqrt{\frac{224}{9}+32}\right)=\frac{1}{2}\left(-\frac{4\sqrt{14}}{3}+\frac{16\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{8\sqrt{2}-2\sqrt{14}}{3}.$$

(5) 距離の計算

直線 $O_1{O}_2$ と $\ell$ のなす角を $\theta$ とする。$O_{2}R\parallel \ell$ なので、$\theta$ は (1) の直角三角形における $\angle O_1{O}_{2}R$ に等しく
$$\sin \theta =\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\cos \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$
直線 $AB$ は $O_1{O}_2$ に垂直なので、直線 $AB$ と $\ell$ のなす角は $90^{\circ }-\theta$ である。よって、$A$ と $\ell$ の距離は
$$MA\sin (90^{\circ }-\theta )=MA\cos \theta =\frac{8\sqrt{2}-2\sqrt{14}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{32-4\sqrt{28}}{9}=\frac{32-8\sqrt{7}}{9}.$$

(確認) $\ell$ を $x$ 軸とし $P(0,0)$, $O_1(0,5)$, $O_2(4\sqrt{2},3)$ とおく。2 円の方程式は $x^2+y^2-10y=0$, $x^2+y^2-8\sqrt{2}x-6y+32=0$ で、辺々引くと直線 $AB$ は $y=2\sqrt{2}x-8$ となる。これを 1 つ目の式に代入すると $9x^2-52\sqrt{2}x+144=0$、よって $x=\frac{26\sqrt{2}\pm 2\sqrt{14}}{9}$。このとき $y=\frac{32\pm 8\sqrt{7}}{9}$ で、小さい方の $y$ 座標が $\frac{32-8\sqrt{7}}{9}$ となり、上の結果と一致する。

答え: $\frac{32-8\sqrt{7}}{9}$

$O_1=(0,0)$、$O_2=(6,0)$ とおく。

交点 A の座標
$x^2+y^2=25$ と $(x-6{)}^2+y^2=9$ を引き算すると $-12x+36=-16$ より $x=\frac{13}{3}$。
このとき $y^2=25-\frac{169}{9}=\frac{56}{9}$ なので $y=\pm \frac{2\sqrt{14}}{3}$。

共通外接線 $\ell$ の式
$\ell$ を $ax+by=c$（$a^2+b^2=1$）とおく。2 円の中心は $\ell$ に対して同じ側にあり、$O_1$ からの距離が 5、$O_2$ からの距離が 3 なので
$c-0=5$、$c-6a=3$。
これより $a=\frac{1}{3}$、$c=5$。
$b^2=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$ なので $b=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
$b=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ の接線（上側）を選ぶと、$\ell$ に近い交点は $y>0$ の方である。

距離の計算
$A=\left(\frac{13}{3},\frac{2\sqrt{14}}{3}\right)$ とすると
$ax+by=\frac{13}{9}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{14}}{3}=\frac{13}{9}+\frac{4\cdot 2\sqrt{7}}{9}=\frac{13+8\sqrt{7}}{9}$。
A は $\ell$ に対して中心側にあるので、距離は
$d=5-\frac{13+8\sqrt{7}}{9}=\frac{32-8\sqrt{7}}{9}$。

検算
数値では $d\approx \frac{32-21.17}{9}\approx 1.20>0$ で、$d$ は正である。
もう一方の交点（$y<0$）では $\frac{32+8\sqrt{7}}{9}\approx 5.9$ となり、こちらの方が遠い。よって $y>0$ の交点が近い方で、選択は正しい。

答え：$\frac{32-8\sqrt{7}}{9}$