図形の性質の問題

準備（外接する 2 円と共通外接線）

半径 $a,b$ の 2 円が外接し、どちらも直線 $\ell$ に同じ側から接しているとする。$\ell$ との接点をそれぞれ $S,T$ とする。

中心間の距離は $a+b$ である。2 つの中心から $\ell$ までの距離は $a,b$ なので、中心を結ぶ線分を、$\ell$ に平行な成分と垂直な成分に分けて考えると、垂直な成分の長さは $|a-b|$、平行な成分の長さは $ST$ である。三平方の定理より
$$S{T}^2=(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$$
となる。よって $ST=2\sqrt{ab}$ である。

本問への適用

円 $O,O^{\prime },P$ と $\ell$ の接点をそれぞれ $A,B,C$ とする。円 $P$ は $\ell$ と 2 円で囲まれた部分にあるので、$C$ は線分 $AB$ 上にあり、
$$AB=AC+CB$$
が成り立つ。どの 2 円も外接しているので、上の結果が使える。

• 円 $O,O^{\prime }$ について: $AB=2\sqrt{6\cdot 2}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$
• 円 $O,P$ について: $AC=2\sqrt{6r}$
• 円 $O^{\prime },P$ について: $CB=2\sqrt{2r}$

これらを $AB=AC+CB$ に代入すると
$$2\sqrt{6r}+2\sqrt{2r}=4\sqrt{3}$$
$$\sqrt{r}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}$$
となる。分母を有理化して
$$\sqrt{r}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}=\frac{\sqrt{18}-\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$$
を得る。両辺を 2 乗すると
$$r=\frac{18-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}+6}{4}=\frac{24-6\sqrt{12}}{4}=\frac{24-12\sqrt{3}}{4}=6-3\sqrt{3}$$
となる。

$6-3\sqrt{3}\approx 0.80>0$ なので、条件に合う。

よって $r=6-3\sqrt{3}$ である。

直線 $\ell$ を $x$ 軸とし、円 $O$、円 $O^{\prime }$、円 $P$ の接点を $\ell$ 上でそれぞれ $A,B,C$ とする。

半径 $a,b$ の 2 円が外接し、ともに直線に接するとき、接点間の距離は $\sqrt{(a+b{)}^2-(a-b{)}^2}=2\sqrt{ab}$ である。

• $AB=2\sqrt{6\cdot 2}=4\sqrt{3}$
• $AC=2\sqrt{6r}$
• $CB=2\sqrt{2r}$

円 $P$ は 2 円と $\ell$ に囲まれた部分にあるので、$C$ は $A$ と $B$ の間にある。よって $AC+CB=AB$ より

$2\sqrt{6r}+2\sqrt{2r}=4\sqrt{3}$

$\sqrt{r}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}$

$\sqrt{r}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{2}$

両辺を 2 乗して

$r=\frac{6(3+1-2\sqrt{3})}{4}=\frac{6(4-2\sqrt{3})}{4}=6-3\sqrt{3}$

検算：$r\approx 0.804$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{r}}\approx 1.115$ である。一方 $\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.408+0.707=1.115$ で一致する。