接線の長さ

円外の点から引いた 2 本の接線の長さが等しいことと $P T = O P^{2} - r^{2}$ を使い、内接円の接点までの長さ $s - a$ などを求められる

前提

三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）

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算数中学高校大学大学院

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説明

円の外にある点から円に引いた接線について、点から接点までの長さ（接線の長さ）を求める技能です。円外の点から引いた 2 本の接線の長さは等しく、円の中心を $O$ 、半径を $r$ 、接点を $T$ とすると $P T = O P^{2} - r^{2}$ で計算できます。この性質を三角形の内接円に使うと、頂点から接点までの長さを辺の長さだけで表せます。

なぜそうしてよいのか

中学で学んだように、円の接線は接点を通る半径に垂直です。点 $P$ から円に 2 本の接線を引き、接点を $T, T^{'}$ とします。すると $△ O P T$ と $△ O P T^{'}$ はどちらも直角三角形です。斜辺 $O P$ は共通で、 $O T = O T^{'} = r$ です。斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいので、2 つの直角三角形は合同です。したがって $P T = P T^{'}$ となります。さらに $△ O P T$ に三平方の定理を使うと $O P^{2} = P T^{2} + r^{2}$ なので、 $P T = O P^{2} - r^{2}$ が得られます。

三角形 $A B C$ の内接円では、各頂点が「円外の点」にあたり、そこから 2 本の接線（2 つの辺）が出ています。 $B C = a, C A = b, A B = c$ とし、内接円が辺 $B C, C A, A B$ に接する点をそれぞれ $D, E, F$ とします。接線の長さが等しいことから $A F = A E = x$ 、 $B F = B D = y$ 、 $C D = C E = z$ と置けます。このとき $x + y = c, y + z = a, z + x = b$ です。3 式を足すと $2 (x + y + z) = a + b + c$ となります。ここで周の長さの半分を $s = \frac{a + b + c}{2}$ とおくと $x + y + z = s$ です。これから $y + z = a$ を引くと $x = s - a$ になります。同じようにして $y = s - b, z = s - c$ も得られます。

手順

円外の点 $P$ と接点 $T$ 、中心 $O$ を確認し、 $O T ⊥ P T$ （半径と接線は垂直）であることを使う
1 点から引いた 2 本の接線の長さは等しいので、等しい長さを同じ文字でおく（内接円なら $A F = A E = x, B F = B D = y, C D = C E = z$ ）
中心までの距離 $O P$ と半径 $r$ がわかっているときは、 $P T = O P^{2} - r^{2}$ で計算する
内接円の問題では、周の半分 $s = \frac{a + b + c}{2}$ を計算する
求める頂点の向かいの辺を $s$ から引く：頂点 $A$ からの接線の長さは $s - a$ （ $a = B C$ ）、 $B$ からは $s - b$ 、 $C$ からは $s - c$

例題

$A B = 7, B C = 8, C A = 5$ の三角形 $A B C$ がある。その内接円が辺 $A B$ に接する点を $F$ とするとき、線分 $A F$ の長さを求めよ。

例題の解答

【手順 2】内接円が $B C, C A$ に接する点を $D, E$ とします。接線の長さは等しいので、 $A F = A E = x$ 、 $B F = B D = y$ 、 $C D = C E = z$ とおけます。
【手順 4】 $a = B C = 8, b = C A = 5, c = A B = 7$ なので、 $s = \frac{8 + 5 + 7}{2} = 10$ です。
【手順 5】頂点 $A$ からの接線の長さは、 $A$ の向かいの辺 $a = B C$ を $s$ から引いたものです。よって $A F = s - a = 10 - 8 = 2$ となります。
（確かめ） $B F = s - b = 10 - 5 = 5$ なので、 $A F + B F = 2 + 5 = 7 = A B$ となり、正しいことがわかります。

答え: $2$

よくある誤り

頂点 $A$ からの接線の長さを $s - c$ や $s - b$ としてしまう誤り。正しくは、 $A$ の向かいの辺 $a = B C$ を引いて $A F = s - a$ とする。上の例では $10 - 8 = 2$ であり、 $10 - 7 = 3$ ではない。
$s$ を周の長さそのもの $a + b + c$ としてしまう誤り。正しくは周の半分で、 $s = \frac{a + b + c}{2}$ とする。上の例では $s = 20$ ではなく $s = 10$ である。
三平方の定理の向きを間違えて、 $P T = O P^{2} + r^{2}$ としてしまう誤り。斜辺は $O P$ なので、正しくは $P T = O P^{2} - r^{2}$ である。例えば $O P = 5, r = 3$ なら $P T = 4$ になる。
接線の長さを $P T = O P - r$ と引き算で求めてしまう誤り。 $O P - r$ は点 $P$ から円周までの最短距離であり、接線の長さではない。正しくは $P T = O P^{2} - r^{2}$ で、 $O P = 5, r = 3$ なら $P T$ は $2$ ではなく $4$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 円の共通接線（数学A 図形の性質）
方べきの定理（数学A 図形の性質）