図形の性質の問題

円と辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DA}$ の接点を、それぞれ $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$ とします。

円の外部の点から円に引いた 2 本の接線の長さは等しいので、
$$\mathrm{AP}=\mathrm{AS},\mathrm{BP}=\mathrm{BQ},\mathrm{CQ}=\mathrm{CR},\mathrm{DR}=\mathrm{DS}$$
が成り立ちます。これらを $\mathrm{AP}=\mathrm{AS}=a$, $\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}=b$, $\mathrm{CQ}=\mathrm{CR}=c$, $\mathrm{DR}=\mathrm{DS}=d$ とおきます。

各辺は 2 つの接線の長さの和なので、
$$\mathrm{AB}+\mathrm{CD}=(a+b)+(c+d),\mathrm{BC}+\mathrm{DA}=(b+c)+(d+a)$$
となり、どちらも $a+b+c+d$ に等しくなります。よって
$$\mathrm{AB}+\mathrm{CD}=\mathrm{BC}+\mathrm{DA}$$
です。

これに数値を代入すると
$$6+9=7+\mathrm{DA}$$
より
$$\mathrm{DA}=15-7=8$$
となります。

四角形 ABCD の 4 辺がすべて 1 つの円に接しているので、この円は四角形に内接している。内接円をもつ四角形では、向かい合う辺の長さの和が等しい（接線の長さが等しいことから導かれる）。したがって AB + CD = BC + DA。AB=6, CD=9, BC=7 を代入すると 6 + 9 = 7 + DA となり、DA = 15 − 7 = 8。検算：AB+CD=15、BC+DA=7+8=15 で等しい。また三角形の成立条件などから、このような四角形は存在しうる（例えば各辺が 6,7,9,8 の凸四角形で内接円をもつものがある）。