図形の性質の問題

$△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=10$、$\mathrm{BC}=12$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$、$△\mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$ とするとき、線分 $\mathrm{AG}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=6$, $\mathrm{BC}=5$, $\mathrm{CA}=4$ とする。$\angle \mathrm{A}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。また、辺 $\mathrm{CA}$ 上に点 $\mathrm{E}$ を $\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=1:2$ となるようにとる。線分 $\mathrm{AD}$ と線分 $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とするとき、$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}$ の値を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{BC}=6$, $\angle \mathrm{BAC}=30^{\circ }$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$ とするとき、線分 $\mathrm{OA}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=9$, $\mathrm{BC}=6$, $\mathrm{CA}=10$ とする。$\angle \mathrm{B}$ の二等分線と辺 $\mathrm{CA}$ の交点を $\mathrm{D}$ とするとき、線分 $\mathrm{AD}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ の面積は $30$ である。辺 $\mathrm{AB}$ 上に点 $\mathrm{D}$ を $\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=2:1$ となるようにとり、辺 $\mathrm{AC}$ 上に点 $\mathrm{E}$ を $\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=3:2$ となるようにとる。$△\mathrm{ADE}$ の面積を求めよ。