平行線と線分の比・内分と外分

内分と外分の意味. 点 $P$ が線分 $AB$ 上にあって $AP:PB=m:n$ のとき、$P$ は $AB$ を $m:n$ に内分するといいます。一方、点 $Q$ が直線 $AB$ 上の線分 $AB$ の外にあって $AQ:QB=m:n$（$m\ne n$）のとき、$Q$ は $AB$ を $m:n$ に外分するといいます。外分点では $A$ からの距離と $B$ からの距離の比が $m:n$ なので、$m>n$ なら $A$ から遠く $B$ に近い側、つまり $B$ の先の延長上にあります。$m<n$ なら逆に $A$ の手前側の延長上にあります。$m=n$ のときは $A$ と $B$ から等距離の点が線分の外にないので、外分点はありません。

平行線と線分の比がなぜ成り立つか（$D,E$ が辺上にある場合）. $△ABC$ で、辺 $AB$ 上の点 $D$ と辺 $AC$ 上の点 $E$ を結ぶ直線が $BC$ に平行だとします。平行線の同位角は等しいので $\angle ADE=\angle ABC$、また $\angle A$ は共通です。よって中学で学んだ 2 角相等により $△ADE\sim △ABC$ で、
$$AD:AB=AE:AC=DE:BC$$
が成り立ちます。この共通の比の値を $r$ とおくと $AD=r\cdot AB$, $AE=r\cdot AC$（辺上なので $0<r<1$）です。すると残りの部分は
$$DB=AB-AD=(1-r)AB,EC=AC-AE=(1-r)AC$$
となるので、
$$AD:DB=rAB:(1-r)AB=r:(1-r),AE:EC=rAC:(1-r)AC=r:(1-r)$$
です。よって $AD:DB=AE:EC$、つまり平行線は 2 辺を同じ比に分けます。ただし $DE:BC$ に等しいのは $AD:AB$ のほうで、$AD:DB$ ではないことに注意します。

$D,E$ が辺の延長上にある場合. (i) $D$ が $B$ の先、$E$ が $C$ の先にあって $DE\parallel BC$ のとき: 同位角で $\angle ADE=\angle ABC$、$\angle A$ 共通なので $△ADE\sim △ABC$ となり、$AD:AB=AE:AC=DE:BC=r$（今度は $r>1$）です。このとき $DB=AD-AB=(r-1)AB$, $EC=AE-AC=(r-1)AC$ なので $AD:DB=AE:EC=r:(r-1)$ が成り立ちます。(ii) $D$ が $A$ の手前（$BA$ の延長上）、$E$ が $CA$ の延長上にあって $DE\parallel BC$ のとき: 対頂角で $\angle DAE=\angle BAC$、錯角で $\angle ADE=\angle ABC$ なので $△ADE\sim △ABC$ となり、やはり $AD:AB=AE:AC=DE:BC=r$ です。このとき $D$ と $B$ は $A$ をはさんで反対側なので $DB=AD+AB=(r+1)AB$, $EC=(r+1)AC$ で、$AD:DB=AE:EC=r:(r+1)$ です。どの場合も、まず $AD:AB=AE:AC=DE:BC$ を立て、$DB$ が $AB-AD$・$AD-AB$・$AD+AB$ のどれになるかを図で確かめるのが確実です。

逆も成り立つ（このページでは $D,E$ が辺上にある場合を扱います）. $D,E$ がそれぞれ辺 $AB$, $AC$ 上（端点以外）にあるとき、$AD:DB=AE:EC$ と $AD:AB=AE:AC$ は同じ内容です。実際、$AD:DB=AE:EC=p:q$ なら $AB=AD+DB$, $AC=AE+EC$ より $AD:AB=p:(p+q)=AE:AC$ です。逆に $AD:AB=AE:AC=r$ なら、上と同じ計算で $AD:DB=r:(1-r)=AE:EC$ です。そこで $AD:AB=AE:AC$ が成り立つとすると、$\angle A$ が共通なので 2 組の辺の比とその間の角が等しく、$△ADE\sim △ABC$ です。よって $\angle ADE=\angle ABC$ となり、同位角が等しいので $DE\parallel BC$ がいえます。