図形の性質の問題

$△\mathrm{ADE}$ と $△\mathrm{ABC}$ は $\angle \mathrm{A}$ を共有しています。この面積比を、高さが共通な三角形の面積比を $2$ 回使って求めます。

手順 1 $△\mathrm{ADC}$ と $△\mathrm{ABC}$ を比べます。底辺を $\mathrm{AD}$, $\mathrm{AB}$（同じ直線上）とみると、高さはどちらも頂点 $\mathrm{C}$ から直線 $\mathrm{AB}$ までの距離で共通です。よって面積比は底辺の比に等しく、$\mathrm{AD}:\mathrm{AB}=2:3$ なので
$$△\mathrm{ADC}=\frac{2}{3}△\mathrm{ABC}=\frac{2}{3}\times 30=20$$

手順 2 $△\mathrm{ADE}$ と $△\mathrm{ADC}$ を比べます。底辺を $\mathrm{AE}$, $\mathrm{AC}$ とみると、高さはどちらも頂点 $\mathrm{D}$ から直線 $\mathrm{AC}$ までの距離で共通です。$\mathrm{AE}:\mathrm{AC}=3:5$ なので
$$△\mathrm{ADE}=\frac{3}{5}△\mathrm{ADC}=\frac{3}{5}\times 20=12$$

まとめ 2 つの手順をまとめると、角が共通な三角形の面積比の公式
$$\frac{△\mathrm{ADE}}{△\mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}}{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}=\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$$
になります。この公式を使っても $△\mathrm{ADE}=\frac{2}{5}\times 30=12$ と求められます。

（$\frac{1}{2}\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}\sin A$ と $\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin A$ の比を考えても、同じ公式が得られます。）

よって、$△\mathrm{ADE}$ の面積は $12$ です。

三角形 ADE と三角形 ABC は $\angle A$ を共有するので、面積比は $\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}:\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}$ に等しい。
$\mathrm{AD}:\mathrm{AB}=2:3$、$\mathrm{AE}:\mathrm{AC}=3:5$ であるから、
$△\mathrm{ADE}=30\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{5}=30\times \frac{2}{5}=12$。
検算：$△\mathrm{ABE}=30\times \frac{3}{5}=18$、$△\mathrm{ADE}=18\times \frac{2}{3}=12$ となり一致する。