図形の性質の問題

手順 1：接線 $\mathrm{PA}$ の長さを求める。

円の接線は接点を通る半径に垂直なので、$\angle \mathrm{OAP}=90^{\circ }$ である。直角三角形 $\mathrm{OAP}$ に三平方の定理を使うと
$$\mathrm{PA}=\sqrt{{\mathrm{OP}}^2-{\mathrm{OA}}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$$
円外の点から引いた 2 本の接線の長さは等しいので、$\mathrm{PB}=\mathrm{PA}=8$ である。

手順 2：接線の長さが等しいことを $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ で使う。

点 $\mathrm{Q}$ からは、円に接線 $\mathrm{QA}$ と $\mathrm{QT}$ が引かれているので $\mathrm{QT}=\mathrm{QA}$。
点 $\mathrm{R}$ からは、円に接線 $\mathrm{RB}$ と $\mathrm{RT}$ が引かれているので $\mathrm{RT}=\mathrm{RB}$。

手順 3：周の長さを計算する。

$\mathrm{T}$ は線分 $\mathrm{QR}$ 上にあるので $\mathrm{QR}=\mathrm{QT}+\mathrm{TR}=\mathrm{QA}+\mathrm{RB}$。よって
$$\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RP}=(\mathrm{PQ}+\mathrm{QA})+(\mathrm{PR}+\mathrm{RB})=\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=8+8=16$$
したがって、$△\mathrm{PQR}$ の周の長さは $16$ である（点 $\mathrm{T}$ の位置によらない）。

$\mathrm{PA}=\sqrt{{\mathrm{OP}}^2-{\mathrm{OA}}^2}=\sqrt{100-36}=8$ であり、同様に $\mathrm{PB}=8$。
点 Q から円への 2 本の接線の長さは等しいので $\mathrm{QA}=\mathrm{QT}$。同様に $\mathrm{RB}=\mathrm{RT}$。
よって $△\mathrm{PQR}$ の周の長さは
$\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RP}=\mathrm{PQ}+(\mathrm{QT}+\mathrm{TR})+\mathrm{RP}=(\mathrm{PQ}+\mathrm{QA})+(\mathrm{RB}+\mathrm{RP})=\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=16$。

検算：T が弧 AB の中点のとき、QR は PO に垂直で OT=6、PT=4。角 APO について $\sin =6/10$, $\tan =6/8=3/4$ なので、QT=4·(3/4)=3、QR=6、PQ=4/cos=4/(4/5)=5。周は 5+5+6=16 で一致する。