図形の性質の問題

$△\mathrm{ABC}$ の内部に点 $\mathrm{P}$ がある。直線 $\mathrm{AP}$, $\mathrm{BP}$, $\mathrm{CP}$ が辺 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$, $\mathrm{AB}$ と交わる点を、それぞれ $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ とする。$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=3:2$, $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=1:2$ のとき、$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}$ の値を求めよ。

四角形 $\mathrm{ABCD}$ の 4 つの辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DA}$ が、すべて円 $\mathrm{O}$ に接している。円 $\mathrm{O}$ と辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DA}$ との接点を、それぞれ $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$ とする。$\mathrm{AB}=6$, $\mathrm{BC}=9$, $\mathrm{CD}=8$ のとき、辺 $\mathrm{DA}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=9$, $\mathrm{BC}=6$, $\mathrm{CA}=7$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とし、直線 $\mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。このとき、$\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$ の値を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=8$, $\mathrm{BC}=5$, $\mathrm{CA}=7$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とし、直線 $\mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。このとき、$\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$ の値を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{AB}$ を $3:1$ に内分する点を $\mathrm{F}$、辺 $\mathrm{AC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とする。直線 $\mathrm{FE}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の延長との交点を $\mathrm{D}$ とするとき、$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ の値を求めよ。