図形の性質の問題

内心 $\mathrm{I}$ は 3 つの内角の二等分線の交点です。したがって、直線 $\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線であり、$\mathrm{BI}$ は $\angle \mathrm{B}$ の二等分線です。

手順 1：$\mathrm{BD}$ を求める。
$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線なので、$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=9:7$ に内分します。よって
$$\mathrm{BD}=6\times \frac{9}{9+7}=\frac{54}{16}=\frac{27}{8}$$

手順 2：$△\mathrm{ABD}$ で $\angle \mathrm{B}$ の二等分線を使う。
$△\mathrm{ABD}$ において、$\mathrm{BI}$ は $\angle \mathrm{ABD}$ の二等分線なので、$\mathrm{I}$ は辺 $\mathrm{AD}$ を $\mathrm{BA}:\mathrm{BD}$ に内分します。
$$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=\mathrm{BA}:\mathrm{BD}=9:\frac{27}{8}=72:27=8:3$$

（これは公式 $\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=(\mathrm{AB}+\mathrm{AC}):\mathrm{BC}=(9+7):6=16:6=8:3$ と一致します。）

したがって
$$\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=\frac{8}{3}$$

AD は ∠A の二等分線なので、BD:DC = AB:AC = 9:7 です。BC=6 より BD = 6·9/16 = 27/8、DC = 21/8 です。

BI は ∠B の二等分線なので、△ABD において AI:ID = BA:BD が成り立ちます。
これより AI/ID = 9 ÷ (27/8) = 9·8/27 = 8/3 です。

検算として、内心の性質 AI:ID = (AB+AC):BC を使います。これは (9+7):6 = 16:6 = 8:3 となり、一致します。