図形の性質の問題

内心 $\mathrm{I}$ は内角の二等分線の交点なので、$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線です。

$\mathrm{BD}$ の長さ
角の二等分線の性質より
$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=6:4=3:2$$
です。$\mathrm{BC}=5$ なので $\mathrm{BD}=5\times \frac{3}{5}=3$ となります。

$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$ の比
$\mathrm{BI}$ は $\angle \mathrm{B}$ の二等分線です。$△\mathrm{ABD}$ で角の二等分線の性質を使うと
$$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=\mathrm{BA}:\mathrm{BD}=6:3=2:1$$
です。よって $\mathrm{ID}=\frac{1}{3}\mathrm{AD}$ です。

$\mathrm{AD}$ の長さ
$△\mathrm{ABC}$ で余弦定理を使うと
$$\cos B=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{CA}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}}=\frac{36+25-16}{2\cdot 6\cdot 5}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$$
です。$△\mathrm{ABD}$ で余弦定理を使うと
$${\mathrm{AD}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BD}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BD}\cos B=36+9-2\cdot 6\cdot 3\cdot \frac{3}{4}=45-27=18$$
となります。$\mathrm{AD}>0$ より $\mathrm{AD}=3\sqrt{2}$ です。

結論
$$\mathrm{ID}=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{2}=\sqrt{2}$$

角の二等分線の定理より BD:DC = AB:AC = 6:4 = 3:2。BC=5 なので BD=3, DC=2。

AD の長さ：スチュワートの定理（または角の二等分線の長さの公式）より AD² = AB·AC − BD·DC = 6·4 − 3·2 = 18。よって AD = 3√2。

内心 I は AD を AI:ID = (AB+AC):BC = (6+4):5 = 2:1 に内分する（B の二等分線で、AI:ID = BA:BD = 6:3 = 2:1 でも確認できる）。

ゆえに ID = AD/3 = 3√2/3 = √2。

検算：AD² = 18 を余弦定理で確認する。cos B = (36+25−16)/(2·6·5) = 45/60 = 3/4。AD² = AB² + BD² − 2·AB·BD·cos B = 36 + 9 − 2·6·3·(3/4) = 45 − 27 = 18。一致する。