図形の性質の問題

1. 接線の長さ

$s=\frac{6+7+5}{2}=9$ とおく。内接円の接点までの長さ（接線の長さ）は、頂点から両隣の接点までが等しいことから
$$\mathrm{BD}=s-\mathrm{CA}=9-5=4,\mathrm{CD}=s-\mathrm{AB}=9-6=3$$
である（$\mathrm{BD}+\mathrm{CD}=7=\mathrm{BC}$ で確かに合う）。

2. 方べきの定理で E, F の位置を求める

直線 $\mathrm{BC}$ は $\omega$ に $\mathrm{D}$ で接する。点 $\mathrm{B}$ について、直線 $\mathrm{BA}$ は $\omega$ と $\mathrm{A}$, $\mathrm{E}$ で交わるので、方べきの定理より
$$\mathrm{BE}\cdot \mathrm{BA}={\mathrm{BD}}^2\text{すなわち}6\mathrm{BE}=16,\mathrm{BE}=\frac{8}{3}.$$
$\frac{8}{3}<6$ より $\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{AB}$ 上にあり、$\mathrm{AE}=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$。

同様に点 $\mathrm{C}$ について
$$\mathrm{CF}\cdot \mathrm{CA}={\mathrm{CD}}^2\text{すなわち}5\mathrm{CF}=9,\mathrm{CF}=\frac{9}{5}.$$
よって $\mathrm{AF}=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$。

3. メネラウスの定理で T の位置を求める

$△\mathrm{ABC}$ と直線 $\mathrm{EFT}$ にメネラウスの定理を用いると
$$\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}\cdot \frac{\mathrm{BT}}{\mathrm{TC}}\cdot \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}=1.$$
$\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}=\frac{10/3}{8/3}=\frac{5}{4}$, $\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}=\frac{9/5}{16/5}=\frac{9}{16}$ より
$$\frac{45}{64}\cdot \frac{\mathrm{BT}}{\mathrm{TC}}=1,\frac{\mathrm{BT}}{\mathrm{TC}}=\frac{64}{45}.$$
$\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ はともに辺の内部にあるので $\mathrm{T}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の延長上にあり、$\mathrm{BT}>\mathrm{TC}$ より $\mathrm{C}$ の側の延長上にある。したがって $\mathrm{BT}=\mathrm{TC}+7$ であり
$$64\mathrm{TC}=45(\mathrm{TC}+7),19\mathrm{TC}=315,\mathrm{TC}=\frac{315}{19}.$$

4. TD を求める

$\mathrm{D}$ は線分 $\mathrm{BC}$ 上、$\mathrm{T}$ は $\mathrm{C}$ の外側にあるので
$$\mathrm{TD}=\mathrm{TC}+\mathrm{CD}=\frac{315}{19}+3=\frac{372}{19}.$$

（検算：$\mathrm{B}(0,0)$, $\mathrm{C}(7,0)$, $\mathrm{A}\left(\frac{30}{7},\frac{12\sqrt{6}}{7}\right)$ とおくと $\mathrm{E}\left(\frac{40}{21},\frac{16\sqrt{6}}{21}\right)$, $\mathrm{F}\left(\frac{1054}{175},\frac{108\sqrt{6}}{175}\right)$ となり、直線 $\mathrm{EF}$ と $x$ 軸の交点は $x=\frac{448}{19}$。$\mathrm{D}(4,0)$ より $\mathrm{TD}=\frac{448}{19}-4=\frac{372}{19}$ で一致する。）

答え：$\frac{372}{19}$

内接円の接線の長さより、$s=\frac{6+7+5}{2}=9$ なので $BD=s-CA=4$、$CD=s-AB=3$ である。

円 $\omega$ は $D$ で $BC$ に接するので、方べきの定理より
$B{D}^2=BE\cdot BA$ から $16=6BE$ となり、$BE=\frac{8}{3}$。
$C{D}^2=CF\cdot CA$ から $9=5CF$ となり、$CF=\frac{9}{5}$。
いずれも辺の長さより短いので、$E,F$ は辺 $AB$, $AC$ 上にある。

このとき $AE=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$、$AF=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$ である。

$△ABC$ と直線 $ETF$ にメネラウスの定理を使うと
$\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BT}{TC}\cdot \frac{CF}{FA}=1$。
$\frac{AE}{EB}=\frac{10/3}{8/3}=\frac{5}{4}$、$\frac{CF}{FA}=\frac{9/5}{16/5}=\frac{9}{16}$ なので
$\frac{BT}{TC}=\frac{64}{45}$。

比が 1 より大きいので $T$ は $C$ の側の延長上にあり、$BT=TC+7$ である。$BT=64k$、$TC=45k$ とおくと $19k=7$、$k=\frac{7}{19}$。よって $TC=\frac{315}{19}$。

$D$ は $BC$ 上で $C$ から $B$ 側に 3 の位置にあるので
$TD=TC+CD=\frac{315}{19}+3=\frac{372}{19}$。

検算：$BT=\frac{448}{19}$、$BT-TC=\frac{133}{19}=7$ で $BC$ と一致する。また $TD=TC+3$ なので $D$ は $T$ と $B$ の間にあり、位置関係も整合している。