図形の性質の問題

$a=\mathrm{BC}=6$, $b=\mathrm{CA}=5$, $c=\mathrm{AB}=7$ とし、$s=\frac{a+b+c}{2}=9$ とおく。

接線の長さ 頂点から内接円への接線の長さは等しいので
$$\mathrm{BD}=s-b=4,\mathrm{DC}=s-c=2$$
であり、$\mathrm{A}$ から $\omega$ への接線の長さは $s-a=3$ である。

$\mathrm{AD}$ の長さ スチュワートの定理（または中線定理と同様に余弦定理を 2 回使う）より
$${\mathrm{AB}}^2\cdot \mathrm{DC}+{\mathrm{AC}}^2\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{BC}({\mathrm{AD}}^2+\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC})$$
$$49\cdot 2+25\cdot 4=6({\mathrm{AD}}^2+8)$$
$198=6{\mathrm{AD}}^2+48$ より ${\mathrm{AD}}^2=25$、$\mathrm{AD}=5$。

（確認：$\cos B=\frac{49+36-25}{2\cdot 7\cdot 6}=\frac{5}{7}$ なので ${\mathrm{AD}}^2=49+16-2\cdot 7\cdot 4\cdot \frac{5}{7}=25$。）

$\mathrm{AE}$ 点 $\mathrm{A}$ における $\omega$ に関する方べきの定理より
$$\mathrm{AE}\cdot \mathrm{AD}=3^2=9\therefore \mathrm{AE}=\frac{9}{5}$$
$\mathrm{AE}<\mathrm{AD}$ より、$\mathrm{E}$ は線分 $\mathrm{AD}$ 上にあり、$\mathrm{ED}=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$。

$\mathrm{DF}$ $\mathrm{D}$ は $\Gamma$ の内部にあり、$\mathrm{F}$ は $\mathrm{D}$ に関して $\mathrm{A}$ と反対側にある。点 $\mathrm{D}$ における $\Gamma$ に関する方べきの定理（弦 $\mathrm{AF}$ と弦 $\mathrm{BC}$）より
$$\mathrm{AD}\cdot \mathrm{DF}=\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC}=8\therefore \mathrm{DF}=\frac{8}{5}$$

$\mathrm{F}$ からの接線の長さ 直線上の並びは $\mathrm{A},\mathrm{E},\mathrm{D},\mathrm{F}$ の順で、$\mathrm{F}$ は $\omega$ の外部にある。
$$\mathrm{FD}=\frac{8}{5},\mathrm{FE}=\mathrm{FD}+\mathrm{DE}=\frac{8}{5}+\frac{16}{5}=\frac{24}{5}$$
$\mathrm{F}$ から $\omega$ への接線の長さを $t$ とすると、方べきの定理より
$$t^2=\mathrm{FD}\cdot \mathrm{FE}=\frac{8}{5}\cdot \frac{24}{5}=\frac{192}{25}$$
よって $t=\frac{\sqrt{192}}{5}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$。

（座標 $\mathrm{B}(0,0)$, $\mathrm{C}(6,0)$, $\mathrm{A}(5,2\sqrt{6})$ で、内心 $\left(4,\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$、$\mathrm{F}\left(\frac{92}{25},-\frac{16\sqrt{6}}{25}\right)$ を用いて直接計算しても同じ値になる。）

$B=(0,0)$, $C=(6,0)$ とおく。$A=(x,y)$ は $x^2+y^2=49$、$(x-6{)}^2+y^2=25$ を満たす。引くと $-12x+36=24$ より $x=5$、$y=2\sqrt{6}$ なので $A=(5,2\sqrt{6})$。

$s=9$ より $BD=s-b=4$、$CD=2$。よって $D=(4,0)$ で、$AD=\sqrt{1+24}=5$。

方べきの定理を $\Gamma$ について点 $D$ に使うと $DA\cdot DF=DB\cdot DC=8$ より $DF=\frac{8}{5}$。

$\omega$ について点 $A$ の方べきは、接線の長さが $s-a=3$ なので $AE\cdot AD=9$。よって $AE=\frac{9}{5}$、$ED=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$。

点は $A,E,D,F$ の順に並ぶ。$F$ は $\omega$ の外にあり、$FD=\frac{8}{5}$、$FE=\frac{16}{5}+\frac{8}{5}=\frac{24}{5}$。

$F$ から $\omega$ への接線の長さを $t$ とすると、方べきの定理より
$t^2=FD\cdot FE=\frac{8}{5}\cdot \frac{24}{5}=\frac{192}{25}$。

よって $t=\frac{8\sqrt{3}}{5}$。

検算：$\frac{192}{25}=7.68$ で $\sqrt{7.68}\approx 2.771$。$\frac{8\cdot 1.732}{5}\approx 2.771$ で一致する。