図形の性質の問題

(1) 点 $\mathrm{H}$ の位置

$\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BM}$ はともに三角形の内部を通る線分なので、交点 $\mathrm{P}$ は $△\mathrm{ABC}$ の内部にある。よって直線 $\mathrm{CP}$ すなわち直線 $\mathrm{CH}$ は辺 $\mathrm{AB}$ と線分の内部で交わり、$\mathrm{H}$ は辺 $\mathrm{AB}$ 上（端点を除く）にある。

角の二等分線の性質より
$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{4},$$
また $\mathrm{M}$ は中点なので $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{MA}}=1$。チェバの定理より
$$\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HB}}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{MA}}=1\text{より}\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HB}}=\frac{4}{5}.$$
$\mathrm{AB}=5$ なので $\mathrm{AH}=\frac{20}{9}$, $\mathrm{HB}=\frac{25}{9}$。

(2) 高さと $△\mathrm{ABC}$ の面積

直角三角形 $\mathrm{AHC}$ で三平方の定理より
$${\mathrm{CH}}^2=4^2-{\left(\frac{20}{9}\right)}^2=\frac{1296-400}{81}=\frac{896}{81},\mathrm{CH}=\frac{8\sqrt{14}}{9}.$$
よって
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{8\sqrt{14}}{9}=\frac{20\sqrt{14}}{9}.$$
（参考: ${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{CH}}^2+{\mathrm{HB}}^2=\frac{896+625}{81}=\frac{1521}{81}$ より $\mathrm{BC}=\frac{13}{3}$ であり、このような三角形は確かに存在する。）

(3) $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$

$△\mathrm{ADC}$ と直線 $\mathrm{BM}$（$\mathrm{B}$ は辺 $\mathrm{DC}$ の延長上、$\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{AD}$ 上、$\mathrm{M}$ は辺 $\mathrm{CA}$ 上）にメネラウスの定理を用いると
$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}\cdot \frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{MA}}=1.$$
$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=5:4$ より $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}=\frac{5}{9}$ なので
$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{5}{9}\cdot 1=1,\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}=\frac{9}{5}.$$
したがって $\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{AD}}=\frac{5}{14}$。

(4) $△\mathrm{PBC}$ の面積

$△\mathrm{PBC}$ と $△\mathrm{ABC}$ は底辺 $\mathrm{BC}$ を共有し、高さの比は $\mathrm{PD}:\mathrm{AD}=5:14$ であるから
$$△\mathrm{PBC}=\frac{5}{14}\cdot \frac{20\sqrt{14}}{9}=\frac{100\sqrt{14}}{126}=\frac{50\sqrt{14}}{63}.$$

チェバの定理より $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CM}{MA}\cdot \frac{AH}{HB}=1$。角の二等分線の性質から $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{4}$、また $\frac{CM}{MA}=1$ なので $\frac{AH}{HB}=\frac{4}{5}$。

$AH=AC\cos A=4\cos A$、$HB=5-4\cos A$（H は線分 AB 上）として $\frac{4\cos A}{5-4\cos A}=\frac{4}{5}$。これを解くと $20\cos A=20-16\cos A$ より $\cos A=\frac{5}{9}$。

このとき $AH=\frac{20}{9}<5$ なので H は線分 AB 上にあり、条件に合う。

$\sin A=\sqrt{1-\frac{25}{81}}=\frac{2\sqrt{14}}{9}$ より、$△ABC=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\cdot \sin A=\frac{20\sqrt{14}}{9}$。

点 P の重み（A, B, C）は $5:4:5$ となる。実際、$BD:DC=5:4$ は B と C の重みの比 $4:5$ と一致し、M が CA の中点であることは A と C の重みが等しいことと一致し、$AH:HB=4:5$ は B と A の重みの比 $4:5$ と一致する。

よって $△PBC=\frac{5}{14}△ABC=\frac{5}{14}\cdot \frac{20\sqrt{14}}{9}=\frac{50\sqrt{14}}{63}$。

検算：$\frac{100\sqrt{14}}{126}=\frac{50\sqrt{14}}{63}$ で一致する。