図形の性質の問題

円 $K$ について
点 $\mathrm{C}$ は直線 $\mathrm{AB}$ 上にない。円 $K$ の中心は「$\mathrm{B}$ を通り直線 $\mathrm{AB}$ に垂直な直線」上にあり、かつ線分 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線上にもある。この 2 直線はただ 1 点で交わるので、円 $K$ はただ 1 つに定まる。

方べきの定理で $\mathrm{AE}$ を求める
直線 $\mathrm{AB}$ は点 $\mathrm{B}$ で円 $K$ に接するので、点 $\mathrm{A}$ は円 $K$ の外部にあり、$\mathrm{AB}$ は $\mathrm{A}$ から引いた接線の長さである。$\mathrm{A}$ を通る直線 $\mathrm{AC}$ は円 $K$ と $\mathrm{C}$, $\mathrm{E}$ で交わるから、方べきの定理より
$$\mathrm{AC}\cdot \mathrm{AE}={\mathrm{AB}}^2$$
である。よって $5\cdot \mathrm{AE}=64$ より
$$\mathrm{AE}=\frac{64}{5}$$
となる。$\mathrm{A}$ は円の外部にあるので、$\mathrm{C}$ と $\mathrm{E}$ は $\mathrm{A}$ から見て同じ側にある。$\mathrm{AE}=\frac{64}{5}>5=\mathrm{AC}$ だから、$\mathrm{E}$ は半直線 $\mathrm{AC}$ 上で $\mathrm{C}$ より先にある。したがって $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{BAC}$ である。

$\cos \angle \mathrm{BAC}$ を求める
$△\mathrm{ABC}$ に余弦定理を用いると
$$\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}}=\frac{64+25-49}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$
となる。

$△\mathrm{ABE}$ で $\mathrm{BE}$ を求める
余弦定理より
$${\mathrm{BE}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AE}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AE}\cos \angle \mathrm{BAE}=64+\frac{4096}{25}-2\cdot 8\cdot \frac{64}{5}\cdot \frac{1}{2}$$
である。これを計算すると
$${\mathrm{BE}}^2=\frac{1600+4096-2560}{25}=\frac{3136}{25}$$
となる。$\mathrm{BE}>0$ より
$$\mathrm{BE}=\frac{56}{5}$$
である。

(別解)相似を使う
接弦定理より $\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{AEB}$ である。また $\angle \mathrm{A}$ は共通なので、$△\mathrm{ABC}\sim △\mathrm{AEB}$ となる。相似比は $\mathrm{AB}:\mathrm{AE}=\mathrm{AC}:\mathrm{AB}=5:8$ である。よって
$$\mathrm{BE}=\mathrm{BC}\cdot \frac{8}{5}=7\cdot \frac{8}{5}=\frac{56}{5}$$
となり、上の結果と一致する。

点 $\mathrm{A}$ は円 $K$ の外部にあり、$\mathrm{AB}$ は $K$ の接線なので、方べきの定理より ${\mathrm{AB}}^2=\mathrm{AC}\cdot \mathrm{AE}$。よって $64=5\cdot \mathrm{AE}$ より $\mathrm{AE}=\frac{64}{5}$（E は半直線 AC 上で C の先にある）。

$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:5$、$\mathrm{AE}:\mathrm{AB}=\frac{64}{5}:8=8:5$ で、$\angle \mathrm{A}$ が共通なので $△\mathrm{ABE}\sim △\mathrm{ACB}$（相似比 $8:5$）。したがって $\mathrm{BE}=\frac{8}{5}\mathrm{BC}=\frac{8}{5}\cdot 7=\frac{56}{5}$。

検算：$\cos A=\frac{64+25-49}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{1}{2}$。余弦定理より ${\mathrm{BE}}^2=64+{\left(\frac{64}{5}\right)}^2-2\cdot 8\cdot \frac{64}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1600+4096-2560}{25}=\frac{3136}{25}$ なので $\mathrm{BE}=\frac{56}{5}$。一致する。