2 円の共通接線

共通外接線の接点間の長さ $d^{2} - (r - r^{'})^{2}$ 、共通内接線の接点間の長さ $d^{2} - (r + r^{'})^{2}$ を求め、共通接線の本数を判定できる

前提

2 つの円の位置関係（数学A 図形の性質）
接線の長さ（数学A 図形の性質）

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算数中学高校大学大学院

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2 つの円の位置関係（数学A 図形の性質）
接線の長さ（数学A 図形の性質）

説明

2 つの円の両方に接する直線を「共通接線」といいます。2 円が接線の同じ側にあるものを共通外接線、反対側にあるものを共通内接線といいます。この技能では、中心間の距離 $d$ と半径 $r, r^{'}$ だけから、共通接線上の 2 つの接点の間の長さを求めます。また、共通接線が何本引けるかを判定します。ベルトをかけた 2 つの滑車や、円が並んだ図形の長さの計算などで使います。

なぜそうしてよいのか

円 $O$ （半径 $r$ ）と円 $O^{'}$ （半径 $r^{'}$ ）があり、 $r \geq r^{'}$ 、 $d = O O^{'}$ とします。まず共通外接線が円 $O$ に点 $A$ で、円 $O^{'}$ に点 $B$ で接しているとします。接線は接点を通る半径に垂直なので、 $O A ⊥ A B$ 、 $O^{'} B ⊥ A B$ です。2 円は接線の同じ側にあるので、線分 $O A$ 上に $H A = r^{'}$ となる点 $H$ をとると、 $H A$ と $O^{'} B$ は平行で、長さが等しく、向きも同じです。よって四角形 $H A B O^{'}$ は長方形で、 $O^{'} H = A B$ 、 $O H = r - r^{'}$ 、 $∠ O H O^{'} = 9 0^{\circ}$ です（ $r = r^{'}$ のときは $H = O$ です）。直角三角形 $O H O^{'}$ に三平方の定理を使うと $A B = O^{'} H = d^{2} - (r - r^{'})^{2}$ となります。これは接線の長さ $P T = O P^{2} - r^{2}$ と同じ形で、 $r$ の代わりに半径の差 $r - r^{'}$ が現れたものです。共通内接線では、2 円が接線の反対側にあります。そこで $O A$ を $A$ の先へ $r^{'}$ だけ延ばした点を $H$ とすると、 $H A B O^{'}$ が長方形になり、 $O H = r + r^{'}$ です。同じ計算で $A B = d^{2} - (r + r^{'})^{2}$ となります。

ここまでは「接線があれば、その長さはこうなる」という向きの話です。逆に、接線が実際に引けることは次のように確かめます。共通外接線で $r > r^{'}$ のときは、中心 $O$ 、半径 $r - r^{'}$ の補助の円をかきます。 $d > r - r^{'}$ なら $O^{'}$ はこの補助円の外にあるので、 $O^{'}$ から補助円に接線が 2 本引けます。その接点 $H$ は直線 $O O^{'}$ に関して対称に 2 つ決まり、 $∠ O H O^{'} = 9 0^{\circ}$ です。半直線 $O H$ 上に $O A = r$ となる点 $A$ をとり、 $O^{'}$ から $H$ → $A$ と同じ向きに $r^{'}$ だけ進んだ点を $B$ とします。すると $H A B O^{'}$ は長方形なので、直線 $A B$ は $A$ で $O A$ に垂直、 $B$ で $O^{'} B$ に垂直です。つまり $A B$ は両方の円に接し、2 つの中心は同じ側にあります。 $r = r^{'}$ のときは $H = O$ とし、 $O A ⊥ O O^{'}$ となる $A$ を 2 方向にとれば、同様に 2 本得られます。共通内接線では、中心 $O$ 、半径 $r + r^{'}$ の補助円を使います。 $d > r + r^{'}$ なら接点 $H$ が 2 つ決まります。線分 $O H$ 上に $O A = r$ となる $A$ をとり、 $B$ も同様に決めると、中心が反対側にある接線が 2 本得られます。 $d$ が補助円の半径（ $r - r^{'}$ または $r + r^{'}$ ）にちょうど等しいときは、 $O^{'}$ が補助円の上にあるので $H = O^{'}$ の 1 通りだけです。このとき接点が重なり、接線は 1 本になります。 $d$ がそれより小さいと $O^{'}$ は補助円の内部にあり、 $H$ は存在しないので、その種類の接線はありません。

まとめると、どちらの種類でも、ルートの中が正なら 2 本、 $0$ なら 1 本、負なら 0 本です。ここで、2 円は異なる円であるとします（中心が一致し、半径も等しい場合を除きます。その場合は同じ円で、共通接線は無数にあります）。このとき、 $d > r + r^{'}$ なら 4 本、 $d = r + r^{'}$ （外接）なら 3 本、 $∣ r - r^{'} ∣ < d < r + r^{'}$ （2 点で交わる）なら 2 本、 $d = ∣ r - r^{'} ∣$ （内接、 $r \neq = r^{'}$ ）なら 1 本、 $d < ∣ r - r^{'} ∣$ （一方が他方の内部）なら 0 本です。

手順

中心間の距離 $d$ と 2 つの半径 $r, r^{'}$ を確認する。座標が与えられていれば、2 点間の距離で $d$ を求める
外接線か内接線かを決める。2 円が接線の同じ側にあれば外接線で、半径の差 $r - r^{'}$ を使う。反対側にあれば内接線で、半径の和 $r + r^{'}$ を使う
その接線が存在するかを確かめる。外接線は $d \geq ∣ r - r^{'} ∣$ 、内接線は $d \geq r + r^{'}$ のときだけ存在する
外接線は $d^{2} - (r - r^{'})^{2}$ 、内接線は $d^{2} - (r + r^{'})^{2}$ を計算し、根号をできるだけ簡単にする
本数を聞かれたら、 $d$ を $r + r^{'}$ 、 $∣ r - r^{'} ∣$ と比べて 4・3・2・1・0 本のどれかを判定する（2 円が同じ円の場合は除く）

例題

半径 $5$ の円 $O$ と半径 $2$ の円 $O^{'}$ があり、中心間の距離は $O O^{'} = 9$ である。2 円の共通外接線の 1 本が円 $O$ 、円 $O^{'}$ に接する点をそれぞれ $A$ 、 $B$ とするとき、線分 $A B$ の長さを求めよ。

例題の解答

手順 1： $d = 9$ 、 $r = 5$ 、 $r^{'} = 2$ である。
手順 2：共通外接線なので、半径の差 $r - r^{'} = 5 - 2 = 3$ を使う。
手順 3： $d = 9 > 3$ なので、共通外接線は存在する（2 本ある）。
手順 4： $A B = 9^{2} - 3^{2} = 81 - 9 = 72 = 62$ である。これは、 $O A$ 上に $H A = 2$ となる点 $H$ をとってできる直角三角形 $O H O^{'}$ （ $O H = 3$ 、 $O O^{'} = 9$ ）の辺 $O^{'} H$ の長さにあたる。
手順 5（参考）： $d = 9 > r + r^{'} = 7$ だから、2 円は互いに外部にある。共通接線は全部で 4 本ある。

答え: $62$

よくある誤り

外接線と内接線で、使う半径の組み合わせを取り違える誤り。たとえば例題で外接線なのに $d^{2} - (r + r^{'})^{2}$ を使うと $81 - 49 = 42$ になってしまう。正しくは、外接線は差 $r - r^{'}$ 、内接線は和 $r + r^{'}$ を使う。例題の外接線の長さは $62$ である。
2 乗を忘れて $d^{2} - (r - r^{'})$ や $d - (r - r^{'})$ としてしまう誤り。正しくは、直角三角形の辺 $O H = r - r^{'}$ を 2 乗して $d^{2} - (r - r^{'})^{2}$ とする。例題では $81 - 3$ ではなく $81 - 9$ である。
2 円が外接している（ $d = r + r^{'}$ ）ときに、共通接線を 4 本または 2 本と数えてしまう誤り。このとき $d^{2} - (r + r^{'})^{2} = 0$ で、内接線は接点の重なった 1 本だけである。正しくは、外接線 2 本と合わせて 3 本である。
2 円が交わる（ $∣ r - r^{'} ∣ < d < r + r^{'}$ ）ときにも内接線の長さを計算してしまう誤り。このとき $d^{2} - (r + r^{'})^{2} < 0$ で、共通内接線は存在しない。正しくは、共通接線は外接線の 2 本だけである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

2 円の共通接線

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